Em cada problema abaixo determinante W[y1, y2](x) sem resolver a equação.
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-v2) y=0 Equação de Bessel de ordem v=1,2,3, ldots

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bessel de ordem v=1,2,3,dots:
x^2y'' + x,y' + l(x^2-v^2r)y = 0
e pede o Wronskiano W[y1,y2](x) de duas soluções independentes sem resolver a equação. Vamos usar o Teorema de Abel para equações lineares de segunda ordem.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
dividindo tudo por x^2. Obtemos
y'' + 1x,y' + l(1 - v^2x^2r)y = 0,
logo
P(x) = 1x

Passo 3

Pelo Teorema de Abel, o Wronskiano satisfaz
W(x) = C expl(-integral P(x),dxr)
Como integral P(x),dx = integral 1x,dx = ln x, temos
W(x) = C,e^-ln x = Cx

Passo 4

Para as funções canônicas de Bessel de primeira e segunda espécie, Jv(x) e Yv(x), é conhecido que
Wl[Jv,Yvr](x) = 2pi x
Comparando com W(x)=Cx vemos que C=2/pi.

Passo 5

Concluímos que, de forma geral para qualquer par de soluções lineares independentes y1,y2 da equação de Bessel,
W[y1,y2](x) = Cx
Em particular, para Jv e Yv
Wl[Jv,Yvr](x) = 2pi x

Resposta

W[y1,y2](x) = Cx, W[Jv,Yv](x) = 2pi x

Exercícios relacionados