Calcule:
(a) integral triplaQ 3 x y^3 z^2 d V, Q=(x, y, z) ;-1 <= x <= 3,1 <= y <= 4,0 <= z <= 2.
(b) integral0^1 integral1+x^2 x integralz^x+z x d y d z d x.
© integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x.

Passo 1

Nesse exercício temos três integrais múltiplas de níveis diferentes: (a) uma integral tripla em uma região retangular Q, (b) uma integral tripla iterada com limites dependentes e © outra tripla iterada com limites que misturam x e y. Vamos usar integração iterada, propriedades de separabilidade quando for o caso e o Teorema Fundamental do Cálculo passo a passo.

Passo 2

Para a parte (a), como os limites de x, y e z são independentes, usamos a separabilidade da integral tripla:
integral triplaQ 3x y^3 z^2 ,dV = 3 l(integral-1^3 x,dxr) l(integral1^4 y^3,dyr) l(integral0^2 z^2,dzr)
Calculando cada uma:
integral-1^3 x,dx = [x^2/2]-1^3 = 9/2 - 1/2 = 4,
integral1^4 y^3,dy = [y^4/4]1^4 = 256/4 - 1/4 = 255/4,
integral0^2 z^2,dz = [z^3/3]0^2 = 8/3.
Então o resultado é
3 times 4 times 2554 times 83 = 2040

Passo 3

Na parte (b), começamos integrando em y:
integralz^x+z x,dy = x l[(y)r]y=z^y=x+z = xl((x+z)-zr) = x^2
Isso reduz a integral para
integral0^1 integral1+x^2x x^2 ,dz,dx

Passo 4

Continuando a parte (b), a integração em z é simples pois o integrando não depende de z:
integral1+x^2x x^2 ,dz = x^2 l[zr]1+x^2x = x^2(x-1)
Aí resta
integral0^1 x^2(x-1),dx = integral0^1 (x^3 - x^2),dx = l[x^44 - x^33r]0^1 = 14 - 13 = -112

Passo 5

Na parte ©, primeiro integramos em z:
integral0^x+y 2x^2y,dz = 2x^2yl[zr]0^x+y = 2x^2y(x+y)
A integral fica
integral-1^2 integral1^x^2 2x^2y(x+y),dy,dx

Passo 6

Ainda na parte ©, agora integramos em y:
integral1^x^2 2x^2y(x+y),dy = 2x^2 integral1^x^2 (xy + y^2),dy = 2x^2l[x y^22 + y^33r]1^x^2
Isso resulta em
x^3 y^2 + tfrac23x^2y^3 |1^x^2 = l(x^7 + tfrac23x^8r) - l(x^3 + tfrac23x^2r) = x^7 + tfrac23x^8 - x^3 - tfrac23x^2

Passo 7

Por fim na parte © integramos em x de -1 a 2:
integral-1^2 l(x^7 + tfrac23x^8 - x^3 - tfrac23x^2r),dx
As primitivas são
x^88 + 227x^9 - x^44 - 29x^3
e ao avaliar de -1 a 2 e simplificar, obtemos
5138

Passo 8

Então os resultados finais são:
(a) 2040;
(b) -\tfrac{1}{12};
© \tfrac{513}{8}.

Resposta

(a) 2040; (b) -\tfrac{1}{12}; © \tfrac{513}{8}

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