Calcule:
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Nesse exercício temos três integrais múltiplas de níveis diferentes: (a) uma integral tripla em uma região retangular Q, (b) uma integral tripla iterada com limites dependentes e © outra tripla iterada com limites que misturam x e y. Vamos usar integração iterada, propriedades de separabilidade quando for o caso e o Teorema Fundamental do Cálculo passo a passo.
Passo 2
Para a parte (a), como os limites de x, y e z são independentes, usamos a separabilidade da integral tripla:
Calculando cada uma:
Então o resultado é
Passo 3
Na parte (b), começamos integrando em y:
Isso reduz a integral para
Passo 4
Continuando a parte (b), a integração em z é simples pois o integrando não depende de z:
Aí resta
Passo 5
Na parte ©, primeiro integramos em z:
A integral fica
Passo 6
Ainda na parte ©, agora integramos em y:
Isso resulta em
Passo 7
Por fim na parte © integramos em x de -1 a 2:
As primitivas são
e ao avaliar de -1 a 2 e simplificar, obtemos
Passo 8
Então os resultados finais são:
(a) 2040;
(b) -\tfrac{1}{12};
© \tfrac{513}{8}.
(a) 2040;
(b) -\tfrac{1}{12};
© \tfrac{513}{8}.
Resposta
(a) 2040; (b) -\tfrac{1}{12}; © \tfrac{513}{8}