(a) Determine o volume do elipsóide , da seguinte forma: Faça a mudança de variáveis que permita reescrever o elipsóide como uma esfera de raio 1 e obtenha o determinante Jacobiano dessa mudança. Use o Teo. da Mudança de Variáveis para determinar o volume do elipsóide. Resp.: Mudança: e .
(b) Determine, utilizando coordenadas esféricas, o volume da esfera de raio e verifique se há coerência com o caso .
(c) A terra não é perfeitamente esférica, aproximando-se mais de um elipsóide com e Km. Estime o volume da Terra.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Calcular o volume do elipsóide
usando mudança de variáveis.
2. (b) Calcular o volume da esfera de raio em coordenadas esféricas e verificar o caso .
3. (c) Estimar o volume da Terra aproximando-a por um elipsóide com km e km.
Conteúdos usados: Teorema da mudança de variáveis em integrais triplas e coordenadas esféricas.
Passo 2
Para (a) fazemos a transformação linear
de modo que a região em fica
uma bola unitária. O Jacobiano é a matriz diagonal , cujo determinante vale
Pelo Teorema da Mudança de Variáveis,
Vrm elipsóide =integral triplau^2+v^2+w^2<=1a b c,du,dv,dw =abccdotl(volume da bola unitáriar) óá
Como o volume da bola unitária em R^3 é tfrac43pi, segue