(a) Determine o volume do elipsóide x^2a+y^2b+z^2c=1, a, b, c>0, da seguinte forma: Faça a mudança de variáveis que permita reescrever o elipsóide como uma esfera de raio 1 e obtenha o determinante Jacobiano dessa mudança. Use o Teo. da Mudança de Variáveis para determinar o volume do elipsóide. Resp.: Mudança: x=a u, y=b v e z=w c,|J|=a b c V=43 pi a b c.
(b) Determine, utilizando coordenadas esféricas, o volume da esfera de raio a e verifique se há coerência com o caso a=b=c.
(c) A terra não é perfeitamente esférica, aproximando-se mais de um elipsóide com a=b approx 6378 Km e c approx 6356 Km. Estime o volume da Terra.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Calcular o volume do elipsóide
x^2a+y^2b+z^2c=1, a,b,c>0
usando mudança de variáveis.
2. (b) Calcular o volume da esfera de raio a em coordenadas esféricas e verificar o caso a=b=c.
3. (c) Estimar o volume da Terra aproximando-a por um elipsóide com a=bapprox6378 km e capprox6356 km.
Conteúdos usados: Teorema da mudança de variáveis em integrais triplas e coordenadas esféricas.

Passo 2

Para (a) fazemos a transformação linear
x = a,u, y = b,v, z = c,w
de modo que a região em (u,v,w) fica
u^2+v^2+w^2<=1,
uma bola unitária. O Jacobiano é a matriz diagonal diag(a,b,c), cujo determinante vale
l|det Jr| = a,b,c
Pelo Teorema da Mudança de Variáveis,
Vrm elipsóide =integral triplau^2+v^2+w^2<=1a b c,du,dv,dw =abccdotl(volume da bola unitáriar) óá
Como o volume da bola unitária em R^3 é tfrac43pi, segue
Vrm elipsóide=43,pi,a,b,c ó

Passo 3

Para (b) usamos coordenadas esféricas em (x,y,z):
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rhoin[0,a], phiin[0,pi], thetain[0,2pi]. O elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Integrando,
Vrm esfera =integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^arho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =l[tfracrho^33r]0^acdotl[-cosphir]0^picdotl[thetar]0^2pi =a^33cdot2cdot2pi =43,pi,a^3
Se a=b=c, o elipsóide vira esfera de mesmo raio e
43pi,a,b,cl|a=b=c= 43pi,a^3,
coerente com o resultado esférico.

Passo 4

Para (c) aproximamos a Terra por elipsóide com a=b=6378 km e c=6356 km. Então
Vrm Terraapprox 43,pi,a^2c =43,pi,(6378)^2times6356 approx1,083times10^12,km^3

Resposta

(a) V=43pi,a,b,c
(b) V=43pi,a^3, e para a=b=c coincide com (a).
(c) Vrm Terraapprox1,083times10^12,km^3

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