Em cada problema abaixo determinante
sem resolver a equação.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e os conceitos que vamos usar. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar o determinante de Wronskian das soluções dessa equação, ou seja,
, sem resolver a equação diferencial.
Para isso, vamos usar a fórmula de Abel, que nos permite calcular o Wronskian sem precisar conhecer as soluções detalhadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão que a fórmula de Abel exige. A forma padrão é:
Vamos dividir toda a equação por
para deixar assim:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula de Abel para encontrar o Wronskian. A fórmula diz que:
Onde
é uma constante que depende das condições iniciais, mas como não temos essas condições, vamos deixar
como está.
Vamos calcular a integral de
:
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na fórmula de Abel:
Podemos simplificar
usando propriedades dos logaritmos:
Então, a expressão fica:
Resposta
O Wronskiano é dado por
, onde
é uma constante.