Em cada problema abaixo determinante W[y1, y2](x) sem resolver a equação.
x^2 y^prime prime-x(x+2) y^prime+(x+2) y=0

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e os conceitos que vamos usar. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
x^2 y'' -x(x+2) y' + (x+2) y =0
O objetivo é encontrar o determinante de Wronskian das soluções dessa equação, ou seja, W[y1, y2](x) , sem resolver a equação diferencial.
Para isso, vamos usar a fórmula de Abel, que nos permite calcular o Wronskian sem precisar conhecer as soluções detalhadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão que a fórmula de Abel exige. A forma padrão é:
y'' + P(x) y' + Q(x) y =0
Vamos dividir toda a equação por x^2 para deixar assim:
y'' - (x+2)x y' + (x+2)x^2 y =0
Aqui, identificamos:
P(x) = - (x + 2)x

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de Abel para encontrar o Wronskian. A fórmula diz que:
W(x) = C exp( -integral P(x) dx )
Onde C é uma constante que depende das condições iniciais, mas como não temos essas condições, vamos deixar C como está.
Vamos calcular a integral de P(x) :
-integral P(x) dx = -integral ( -x + 2x ) dx = integral ( 1 + 2x ) dx
Resolvendo a integral:
integral 1 , dx = x
integral 2x , dx = 2 ln|x|
Então:
-integral P(x) dx = x + 2 ln|x|

Passo 4

Substituindo de volta na fórmula de Abel:
W(x) = C e^x + 2 ln|x|
Podemos simplificar e^2 ln|x| usando propriedades dos logaritmos:
e^2 ln|x| = (e^ln|x|)^2 = |x|^2 = x^2
Então, a expressão fica:
W(x) = C x^2 e^x

Resposta

O Wronskiano é dado por W(x) = C x^2 e^x , onde C é uma constante.

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