Considere o PVI 4 u^prime+4 u^prime+u=0, u(0)=1, u^prime(0)=2. Resolva e faça um gráfico da solução u(t). Determine as coordenadas (t0, y0) do ponto de máximo da solução. . Mude a condição u^prime(0)=2 para y^prime(0)=b>0 e encontre a solução em função de b. Determine as coordenadas (tM, yM) do ponto de máximo em função de b.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
4,u''(t) + 4,u'(t) + u(t) = 0, u(0)=1, u'(0)=2,
fazer um gráfico de u(t) e determinar o ponto de máximo l(t0,y0r). Em seguida substituir u'(0)=2 por u'(0)=b>0, achar a solução em função de b e o ponto de máximo l(tM,yMr) em função de b. Para isso vamos usar o método da equação característica de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e depois otimizar u(t) pelo critério u'(t)=0.

Passo 2

Formamos a equação característica
4r^2+4r+1=0
O discriminante é De<a=4^2-4cdot4cdot1=16-16=0, logo há raiz dupla
r=-tfrac12
Assim a solução geral é
u(t) = l(C1+C2,tr),e^-t/2

Passo 3

Aplicando u(0)=1 e u'(0)=2:
  • Em t=0 temos u(0)=C1=1.
  • Calculando a derivada,
u'(t)=l(C2-tfrac12(C1+C2t)r)e^-t/2 =l(C2-tfrac12-tfracC22tr)e^-t/2
Em t=0 exige-se u'(0)=C2-tfrac12=2, logo C2=tfrac52.
Portanto
u(t)=l(1+tfrac52tr)e^-t/2

Passo 4

Para achar o máximo resolvemos u'(t)=0:
u'(t)=l(tfrac52-tfrac12-tfrac54tr)e^-t/2 =l(2-tfrac54tr)e^-t/2=0 Longrightarrow 2-tfrac54t=0 Longrightarrow t0=tfrac85
O valor máximo é
y0=ul(tfrac85r) =l(1+tfrac52cdottfrac85r)e^-4/5 =l(1+4r)e^-4/5 =5e^-4/5
O gráfico de u(t) cresce até t0=1,6 atingindo y0approx2,25 e depois decai exponencialmente a zero.

Passo 5

Agora substituímos a condição u'(0)=b>0. Repetindo os passos anteriores obtemos C1=1 e
C2-tfrac12=b Longrightarrow C2=b+tfrac12
Logo a solução geral em função de b é
u(t)=l(1+l(b+tfrac12r)tr)e^-t/2

Passo 6

Para o ponto de máximo em função de b impomos u'(t)=0:
u'(t)=l(C2-tfrac12-tfracC22,tr)e^-t/2 =0 Longrightarrow C2l(1-tfrac t2r)=tfrac12 Longrightarrow 1-tfrac t2=tfrac12C2
Substituindo C2=b+tfrac12 achamos
tM=2-1b+tfrac12 =2b,b+tfrac12,
O valor máximo é
yM=u(tM) =l(1+(b+tfrac12),tMr)e^-tM/2 =l(2b+1r)exp!l(-tfracb,b+tfrac12,r)

Resposta

Para u'(0)=2:
u(t)=l(1+tfrac52,tr)e^-t/2, (t0,y0)=l(tfrac85,,5e^-4/5r)
Para u'(0)=b>0:
u(t)=l(1+(b+tfrac12)tr)e^-t/2, (tM,yM) =l(tfrac2bb+tfrac12,,(2b+1)e^-,b,b+tfrac12,r)

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