Considere o PVI
. Resolva e faça um gráfico da solução
. Determine as coordenadas
do ponto de máximo da solução. . Mude a condição
para
e encontre a solução em função de
. Determine as coordenadas
do ponto de máximo em função de
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
fazer um gráfico de
e determinar o ponto de máximo
. Em seguida substituir
por
, achar a solução em função de
e o ponto de máximo
em função de
. Para isso vamos usar o método da equação característica de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e depois otimizar
pelo critério
.
Passo 2
Formamos a equação característica
O discriminante é
, logo há raiz dupla
Assim a solução geral é
Passo 3
Aplicando
e
:
- Em
temos . - Calculando a derivada,
Em
exige-se
, logo
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Para achar o máximo resolvemos
:
O valor máximo é
O gráfico de
cresce até
atingindo
e depois decai exponencialmente a zero.
Passo 5
Agora substituímos a condição
. Repetindo os passos anteriores obtemos
e
Logo a solução geral em função de
é
Passo 6
Para o ponto de máximo em função de
impomos
:
Substituindo
achamos
O valor máximo é
Resposta
Para
:
Para
: