Mostre que se p(x)>0 for diferenciável então W[y1, y2](x)=cp(x) para quaisquer duas soluções y1 e y2 da equação [p(x) y^prime]+q(x) y=0, onde c é uma constante que depende das soluções y1 e y2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Wronskiano de duas soluções quaisquer da equação
[p(x)y"]’+q(x)y=0
se expressa como W[y1,y2](x)=c/p(x), onde c é constante. O conteúdo principal envolve a forma auto-adjunta da EDO de segunda ordem e a identidade de Abel para o Wronskiano.

Passo 2

Começamos transformando a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Expandindo e dividindo por p(x) obtemos:
p(x)y''+p'(x)y'+q(x)y=0
Rightarrow y''+p'(x)p(x)y'+q(x)p(x)y=0
Aqui identificamos P(x)=p'(x)/p(x).

Passo 3

Agora usamos a definição do Wronskiano W=y1y2'-y1'y2 e derivamos:
W'=y1y2''-y1''y2
Pelos substituímos yi''= -P(x)yi'-Q(x)yi para i=1,2, e obtemos
W'=-P(x)(y1y2'-y1'y2)=-P(x)W
Isto é exatamente a identidade de Abel: W'=-P(x)W.

Passo 4

Para concluir, se W'=-tfracp'pW então
W'W=-p'pLongrightarrow ln|W|=-ln p+ln|c|,
onde c é constante de integração. Exponenciando, achamos
W(x)=cp(x)

Resposta

W[y1,y2](x)=dfraccp(x), com c constante determinada pelas condições iniciais das soluções.

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