Mostre que se
for diferenciável então
para quaisquer duas soluções
e
da equação
, onde
é uma constante que depende das soluções
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Wronskiano de duas soluções quaisquer da equação
[p(x)y"]’+q(x)y=0
se expressa como
, onde
é constante. O conteúdo principal envolve a forma auto-adjunta da EDO de segunda ordem e a identidade de Abel para o Wronskiano.
Passo 2
Começamos transformando a equação na forma padrão
. Expandindo e dividindo por
obtemos:
Aqui identificamos
.
Passo 3
Agora usamos a definição do Wronskiano
e derivamos:
Pelos substituímos
para
, e obtemos
Isto é exatamente a identidade de Abel:
.
Passo 4
Para concluir, se
então
onde