Represente um esboço da região R do 1^circ quadrante do plano cartesiano limitada pelas curvas y=1x, y=x^2, y=e e x=0 e, determine a área da região R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar um esboço da região R que está no primeiro quadrante do plano cartesiano, ou seja, onde tanto x quanto y são positivos. Essa região é delimitada pelas curvas y = 1x , y = x^2 , y = e (onde e é aproximadamente 2,718) e pela reta x = 0 . Nosso objetivo é encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  1. y = 1x : Essa é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes. No primeiro quadrante, ela começa alta quando x é próximo de 0 e diminui conforme x aumenta.
  2. y = x^2 : Essa é uma parábola que abre para cima. No primeiro quadrante, ela começa em (0,0) e cresce conforme x aumenta.
  3. y = e : Essa é uma linha horizontal constante, já que e é um número constante.
  4. x = 0 : Essa é a reta do eixo y.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam para saber os limites da nossa região R.
Primeiro, igualamos y = 1x e y = x^2 :
1x = x^2 implies x^3 = 1 implies x = 1
Então, quando x = 1 , y = 1 .
Agora, vamos ver onde y = x^2 e y = e se encontram:
x^2 = e implies x = raize
Então, quando x = raize , y = e .
E onde y = 1x e y = e se encontram:
1x = e implies x = 1e
Então, quando x = 1e , y = e .

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos desenhar o esboço:
  • A hipérbole y = 1x vai do ponto (1e, e) até (1,1) .
  • A parábola y = x^2 vai do ponto (1,1) até (raize, e) .
  • A linha y = e liga os pontos (1e, e) e (raize, e) .
  • A reta x = 0 é o eixo y, que no nosso caso, não vai interferir diretamente na região, já que todas as outras curvas estão no primeiro quadrante.

Passo 5

Para encontrar a área da região R, vamos dividir em duas partes, já que temos duas curvas que formam os limites inferiores da região:
  1. De x = 1e a x = 1 : Aqui, a curva de baixo é y = x^2 e a de cima é y = e .
  2. De x = 1 a x = raize : Aqui, a curva de baixo agora é y = 1x e a de cima continua sendo y = e .
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Área = integrala^b (ycima - ybaixo) , dx Á

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeira parte ( 1e a 1):
Área1 = integral1e^1 (e - x^2) , dx Á
Vamos resolver essa integral:
Área1 = e cdot (1 - 1e) - ( 1^33 - (1e)^33 ) = e (1 - 1e) - (13 - 13e^3) Á
Simplificando:
Área1 = e - 1 - 13 + 13e^3 = e - 43 + 13e^3 Á
  1. Segunda parte (1 a raize ):
Área2 = integral1^raize (e - 1x) , dx Á
Resolvendo essa integral:
Área2 = e cdot (raize - 1) - (ln(raize) - ln(1)) = e (raize - 1) - (12ln e - 0) Á
Como ln e = 1 :
Área2 = e (raize - 1) - 12 Á

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total da região R:
Área Total = Área1 + Área2 = (e - 43 + 13e^3) + (e (raize - 1) - 12) ÁÁÁ
Simplificando:
Área Total = 2e raize - e - 43 - 12 + 13e^3 Á

Resposta

A área da região R é 2e raize - e - 116 + 13e^3 unidades de área.

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