Represente um esboço da região R do
quadrante do plano cartesiano limitada pelas curvas
, determine a área da região R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar um esboço da região R que está no primeiro quadrante do plano cartesiano, ou seja, onde tanto x quanto y são positivos. Essa região é delimitada pelas curvas
,
,
(onde
é aproximadamente 2,718) e pela reta
. Nosso objetivo é encontrar a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
: Essa é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes. No primeiro quadrante, ela começa alta quando x é próximo de 0 e diminui conforme x aumenta. -
: Essa é uma parábola que abre para cima. No primeiro quadrante, ela começa em (0,0) e cresce conforme x aumenta. -
: Essa é uma linha horizontal constante, já que é um número constante. -
: Essa é a reta do eixo y.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam para saber os limites da nossa região R.
Primeiro, igualamos
e
:
Então, quando
,
.
Agora, vamos ver onde
e
se encontram:
Então, quando
,
.
E onde
e
se encontram:
Então, quando
,
.
Passo 4
Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos desenhar o esboço:
- A hipérbole
vai do ponto até . - A parábola
vai do ponto até . - A linha
liga os pontos e . - A reta
é o eixo y, que no nosso caso, não vai interferir diretamente na região, já que todas as outras curvas estão no primeiro quadrante.
Passo 5
Para encontrar a área da região R, vamos dividir em duas partes, já que temos duas curvas que formam os limites inferiores da região:
-
De
a : Aqui, a curva de baixo é e a de cima é . -
De
a : Aqui, a curva de baixo agora é e a de cima continua sendo .
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
- Primeira parte (
a 1):
Vamos resolver essa integral:
Simplificando:
- Segunda parte (1 a
):
Resolvendo essa integral:
Como
:
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total da região R:
Simplificando:
Resposta
A área da região R é
unidades de área.