Em cada problema abaixo determinante W[y1, y2](x) sem resolver a equação.
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+alpha(alpha+1) y=0 Equação de Legendre de ordem alpha=1,2,3, ldots

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para determinarmos o determinante de Wronskian, W[y1, y2](x) , para a Equação de Legendre dada:
(1 - x^2) y'' - 2x y' + alpha(alpha + 1) y = 0
Aqui, a equação é uma Equação Diferencial de Legendre de ordem alpha = 1, 2, 3, ldots . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskian e como ele se relaciona com equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Wronskian. O Wronskian de duas funções y1 e y2 é dado por:
W[y1, y2](x) = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1'
Ele nos ajuda a entender se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a Equação de Legendre em uma forma que facilite a identificação dos coeficientes. Dividimos toda a equação por (1 - x^2) para obter:
y'' - 2x1 - x^2 y' + alpha(alpha + 1)1 - x^2 y = 0
Aqui, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0
onde:
  • p(x) = -2x1 - x^2
  • q(x) = alpha(alpha + 1)1 - x^2

Passo 4

Para encontrar o Wronskian sem resolver a equação, usamos uma fórmula que relaciona o Wronskian com o coeficiente p(x) :
W(x) = C cdot e^-integral p(x) dx
onde C é uma constante.

Passo 5

Vamos calcular a integral integral p(x) dx :
integral p(x) dx = integral -2x1 - x^2 dx
Podemos simplificar isso fazendo uma substituição. Seja u = 1 - x^2 , então du = -2x dx . Portanto:
integral -2x1 - x^2 dx = integral duu = ln|u| + C = ln|1 - x^2| + C

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula do Wronskian:
W(x) = C cdot e^-ln|1 - x^2| = C cdot 11 - x^2
Simplificando, podemos escrever:
W(x) = C1 - x^2

Passo 7

Como C é uma constante arbitrária, podemos simplesmente representá-la como uma constante k . Portanto, o Wronskian é:
W[y1, y2](x) = k1 - x^2

Resposta

O determinante de Wronskian é dado por:
W[y1, y2](x) = k1 - x^2
onde k é uma constante.

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