Se o Wronskiano
de duas soluções quaisquer de
é constante, o que se pode afirmar sobre as funções
e
?
Passo 1
Temos a equação
e duas soluções
cujo Wronskiano
é dado como constante. O conteúdo que vamos usar é o Lema (ou Teorema) de Abel, que relaciona o Wronskiano ao coeficiente
.
Passo 2
Pelo Lema de Abel sabemos que, para toda equação
o Wronskiano satisfaz a equação diferencial
Integrando essa equação, obtemos a fórmula de Abel:
Passo 3
Sabendo que
é constante, temos
. Substituindo em
vem
Como as soluções
são linearmente independentes, o Wronskiano constante
. Logo
Passo 4
Com
, a equação original fica
Não há nenhuma outra restrição sobre
; ela pode ser qualquer função suficientemente suave.
Resposta
p(x)
e a outra função (denotada no enunciado por
, que corresponde a
) não tem restrição adicional – a equação vira
.