Se o Wronskiano W[y1, y2](x) de duas soluções quaisquer de y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 é constante, o que se pode afirmar sobre as funções p(x) e g(x)?

Passo 1

Temos a equação
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
e duas soluções y1,y2 cujo Wronskiano
W(x)=W[y1,y2](x)
é dado como constante. O conteúdo que vamos usar é o Lema (ou Teorema) de Abel, que relaciona o Wronskiano ao coeficiente p(x).

Passo 2

Pelo Lema de Abel sabemos que, para toda equação
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
o Wronskiano satisfaz a equação diferencial
W'(x) + p(x),W(x) = 0
Integrando essa equação, obtemos a fórmula de Abel:
W(x) ;=; W(x0),expl(-!integralx0^xp(t),dtr)

Passo 3

Sabendo que W(x) é constante, temos W'(x)=0. Substituindo em
W'(x) + p(x),W(x)=0
vem
0 + p(x),W(x)=0
Como as soluções y1,y2 são linearmente independentes, o Wronskiano constante W(x)neq0. Logo
p(x)=0para todo x

Passo 4

Com p(x)equiv0, a equação original fica
y'' + q(x),y = 0
Não há nenhuma outra restrição sobre q(x); ela pode ser qualquer função suficientemente suave.

Resposta

p(x) equiv0 e a outra função (denotada no enunciado por g(x), que corresponde a q(x)) não tem restrição adicional – a equação vira y''+q(x),y=0.

Exercícios relacionados