Se o Wronskiano de duas soluções quaisquer de é constante, o que se pode afirmar sobre as funções e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o Wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem da forma . A questão quer saber o que podemos dizer sobre as funções e (provavelmente ) se o Wronskiano é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Wronskiano se comporta em relação às funções da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções e da equação diferencial, o Wronskiano é definido por:
O Wronskiano nos dá uma ideia sobre a independência linear das soluções.
Passo 3
Agora, existe uma relação importante entre o Wronskiano e os coeficientes da equação diferencial. A derivada do Wronskiano é dada por:
W' = -p(x) W
Isso vem de derivar o determinante e usar a equação diferencial para substituir y'' .
Passo 4
Segundo o enunciado, o Wronskiano W é constante. Se W é constante, sua derivada é zero, ou seja, W' = 0 . Substituindo na equação anterior:
0 = -p(x) W
Passo 5
Se W é constante e não zero (porque se fosse zero, as soluções seriam linearmente dependentes, o que não é o caso aqui), então p(x) deve ser zero para que a equação seja satisfeita:
p(x) = 0
Quanto à função g(x) (presumindo que seja q(x) ), não há informação suficiente no enunciado para determinar algo específico sobre ela apenas com o Wronskiano sendo constante.
Resposta
Quando o Wronskiano W[y1, y2](x) é constante, a função p(x) deve ser zero. A respeito de g(x) (provavelmente q(x) ), não podemos afirmar nada específico apenas com a informação de que o Wronskiano é constante.