Se o Wronskiano W[y1, y2](x) de duas soluções quaisquer de y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 é constante, o que se pode afirmar sobre as funções p(x) e g(x) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o Wronskiano W[y1, y2](x) de duas soluções de uma equação diferencial de segunda ordem da forma y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 . A questão quer saber o que podemos dizer sobre as funções p(x) e g(x) (provavelmente q(x) ) se o Wronskiano é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Wronskiano se comporta em relação às funções da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções y1 e y2 da equação diferencial, o Wronskiano é definido por:
W[y1, y2](x) = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1'
O Wronskiano nos dá uma ideia sobre a independência linear das soluções.

Passo 3

Agora, existe uma relação importante entre o Wronskiano e os coeficientes da equação diferencial. A derivada do Wronskiano é dada por:
W' = -p(x) W
Isso vem de derivar o determinante e usar a equação diferencial para substituir y'' .

Passo 4

Segundo o enunciado, o Wronskiano W é constante. Se W é constante, sua derivada é zero, ou seja, W' = 0 . Substituindo na equação anterior:
0 = -p(x) W

Passo 5

Se W é constante e não zero (porque se fosse zero, as soluções seriam linearmente dependentes, o que não é o caso aqui), então p(x) deve ser zero para que a equação seja satisfeita:
p(x) = 0
Quanto à função g(x) (presumindo que seja q(x) ), não há informação suficiente no enunciado para determinar algo específico sobre ela apenas com o Wronskiano sendo constante.

Resposta

Quando o Wronskiano W[y1, y2](x) é constante, a função p(x) deve ser zero. A respeito de g(x) (provavelmente q(x) ), não podemos afirmar nada específico apenas com a informação de que o Wronskiano é constante.

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