Em cada problema, calcule a integral indefinida.
\int \sqrt[3]{z} d z

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sqrt[3]{z}\,dz
O conteúdo aqui é a integração de potências de z. Vamos usar a regra
\int z^{n}\,dz = \frac{z^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em forma de potência:
\sqrt[3]{z} = z^{\tfrac{1}{3}}.
Logo a integral vira
\int z^{\tfrac{1}{3}}\,dz.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência com n = \tfrac13:
n+1 = \tfrac{1}{3} + 1 = \tfrac{4}{3},
portanto
\int z^{\tfrac{1}{3}}\,dz = \frac{z^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} + C.

Passo 4

Simplificando a fração temos
\frac{1}{\tfrac{4}{3}} = \frac{3}{4},
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\frac{z^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} = \frac{3}{4}\,z^{\tfrac{4}{3}}.
Em forma de radical, z^{\tfrac{4}{3}} = \sqrt[3]{z^{4}}.

Resposta

\int \sqrt[3]{z}\,dz = \frac{3}{4}\,z^{\tfrac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}\,\sqrt[3]{z^{4}} + C.

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