(2.5 pt) Encontre a solução geral da equação,
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\frac{e^{3 x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y''-6y'+9y=\frac{e^{3x}}{x}.
O conteúdo envolvido é resolução de EDO linear com coeficientes constantes e termo não homogêneo, usando o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-6y'+9y=0.
A equação característica é
r^2-6r+9=(r-3)^2=0,
cuja raiz dupla é r=3. Logo, a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{3x} + C_2\,x e^{3x}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais
y_1 = e^{3x},\quad y_2 = x e^{3x}.
Calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{3x} & x e^{3x}\\\\ 3e^{3x} & e^{3x}+3x e^{3x} \end{vmatrix} = e^{6x}.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1' = -\frac{y_2\,f(x)}{W} =-\frac{x e^{3x}\cdot \frac{e^{3x}}{x}}{e^{6x}} =-1, \quad u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W} =\frac{e^{3x}\cdot \frac{e^{3x}}{x}}{e^{6x}} =\frac{1}{x}.
Integramos para obter
u_1 = -\int 1\,dx = -x,\qquad u_2 = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Construímos uma particular
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 =(-x)e^{3x} + (\ln\lvert x\rvert)\,x e^{3x} = x e^{3x}\bigl(\ln\lvert x\rvert -1\bigr).
Note que o termo -x e^{3x} pode ser absorvido em C_2 x e^{3x}, de modo que uma forma simples para y_p é
y_p = x e^{3x}\ln\lvert x\rvert.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2\,x e^{3x} + x e^{3x}\ln\lvert x\rvert.

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