Em cada problema, calcule a integral indefinida.
\int(1-x) \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int (1 - x)\,\sqrt{x}\,dx.
O conteúdo é integração de soma/diferença de potências de x. Vamos usar a regra de potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
válida para n \neq -1.

Passo 2

Expandimos o integrando escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2}:
(1 - x)\,\sqrt{x} = x^{1/2} - x\cdot x^{1/2} = x^{1/2} - x^{3/2}.

Passo 3

Integramos termo a termo usando a regra de potência:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,x^{3/2},
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,x^{5/2}.

Passo 4

Subtraindo as duas primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int (1 - x)\,\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2} - \frac{2}{5}\,x^{5/2} + C.

Resposta

\int (1 - x)\,\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2} \;-\;\frac{2}{5}\,x^{5/2} + C.

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