Resolva os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=y+1 \\\ y(1)=0\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial (PVI) \{\,y' = y + 1,\;y(1)=0\}. É um caso de equação diferencial linear de primeira ordem, que vamos resolver usando o fator integrante.

Passo 2

Escrevendo a equação na forma padrão
y' - y = 1,
identificamos p(x)=-1 e q(x)=1. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int(-1)\,dx} = e^{-x}.

Passo 3

Multiplicando toda a equação por \mu(x), obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x},
cujo lado esquerdo equivale a \tfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr). Integrando ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C.

Passo 4

Isolando y, temos
y = -1 + C e^{x}.
Para determinar C, usamos y(1)=0:
0 = -1 + C e^{1} \quad\Rightarrow\quad C = e^{-1}.

Passo 5

Substituindo C na solução geral, concluímos
y(x) = -1 + e^{-1}e^{x} = e^{x-1} - 1.

Resposta

y(x) = e^{x-1} - 1.

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