Encontre as soluções das equações diferenciais dadas e estude o comportamento assintótico das mesmas.
\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}(t)+4 t y(t)=\left(1+t^{2}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+t^{2})\,y'(t)+4\,t\,y(t)=(1+t^{2})^{-2}
que é uma equação linear no formato
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t).
Aqui vamos precisar dividir por 1+t^{2}, identificar
p(t)=\frac{4t}{1+t^{2}},\quad q(t)=(1+t^{2})^{-3},
e então usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocando em forma padrão dividindo toda a equação por 1+t^{2}, obtemos
y'(t)+\frac{4t}{1+t^{2}}\,y(t)=(1+t^{2})^{-3}.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{4t}{1+t^{2}}\,dt\Bigr).
Fazendo a substituição u=1+t^{2}, du=2t\,dt, temos
\int \frac{4t}{1+t^{2}}\,dt =2\int \frac{du}{u} =2\ln|u| =2\ln(1+t^{2}),
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\mu(t)=e^{2\ln(1+t^{2})}=(1+t^{2})^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante:
(1+t^{2})^{2}\,y'+(1+t^{2})^{2}\frac{4t}{1+t^{2}}\,y =\,(1+t^{2})^{2}\,(1+t^{2})^{-3}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \mu(t)\,y(t), pois \mu'(t)=4t(1+t^{2}). Assim
\frac{d}{dt}\bigl[(1+t^{2})^{2}\,y(t)\bigr] =(1+t^{2})^{-1}.

Passo 5

Integramos em t:
(1+t^{2})^{2}\,y(t) =\int (1+t^{2})^{-1}\,dt + C =\arctan(t)+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y(t), a solução geral fica
y(t)=\frac{\arctan(t)+C}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 7

Para estudar o comportamento assintótico observe que
\lim_{t\to+\infty}\arctan(t)=\frac{\pi}{2},\quad \lim_{t\to-\infty}\arctan(t)=-\frac{\pi}{2},
e (1+t^{2})^{2}\sim t^{4} quando |t|\to\infty. Portanto, se \displaystyle A_{\pm}=\lim_{t\to\pm\infty}[\arctan(t)+C] for não nulo,
y(t)\sim\frac{A_{\pm}}{t^{4}}\to 0.
Se escolhermos C=-\tfrac{\pi}{2}, então A_{+}=0 e o decaimento é ainda mais rápido (da ordem de t^{-5}), mas de toda forma
\lim_{t\to\pm\infty}y(t)=0.

Resposta

A solução geral é
y(t)=\frac{\arctan(t)+C}{(1+t^{2})^{2}},
e para qualquer constante C tem-se
\lim_{t\to\pm\infty}y(t)=0.

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