Encontre as soluções das equações diferenciais dadas e estude o comportamento assintótico das mesmas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
que é uma equação linear no formato
Aqui vamos precisar dividir por
, identificar
e então usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Colocando em forma padrão dividindo toda a equação por
, obtemos
Passo 3
O fator integrante
é dado por
Fazendo a substituição
,
, temos
logo
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
. Assim
Passo 5
Integramos em
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolando
, a solução geral fica
Passo 7
Para estudar o comportamento assintótico observe que
e
quando
. Portanto, se
for não nulo,
Se escolhermos
, então
e o decaimento é ainda mais rápido (da ordem de
), mas de toda forma
Resposta
A solução geral é
e para qualquer constante
tem-se