Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 10. Considere
\left(3 x^{2} y+y^{3}\right) d x+\left(x^{3}+3 y^{2}\right) d y=0, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial a seguir e pede (a) classificação, (b) resolução com a condição inicial e (c) discutir (quando indicado) o Teorema de Existência e Unicidade:
\left(3 x^{2} y+y^{3}\right) d x+\left(x^{3}+3 y^{2}\right) d y=0,\qquad y(1)=1.
Informações relevantes dadas:
  • Forma diferencial: M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=3x^{2}y+y^{3} e N(x,y)=x^{3}+3y^{2}.
  • Condição inicial: o ponto (x_{0},y_{0})=(1,1).
  • O problema pede (a) classificar a equação entre as opções dadas; (b) resolver e impor a condição inicial; (c) discutir TEU se for o caso.

Passo 2

Verificar se a equação é separável.
  • Para ser separável precisamos poder escrever dy/dx = g(x)\,h(y).
  • Passando para a forma explícita:
\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}y+y^{3}}{x^{3}+3y^{2}}.
  • O membro direito não se separa em produto de função só de x por função só de y (há mistura polinomial entre x e y). Logo: a equação NÃO é separável.

Passo 3

Verificar se a equação é linear em y (ou em x).
  • Escrever na forma padrão linear em y: uma EDO de 1ª ordem linear tem forma y'+P(x)y=Q(x).
  • Aqui a expressão para y' é racional não linear em y (aparecem termos y^{3} no numerador e y^{2} no denominador), portanto NÃO é uma equação linear em y.
  • Também não é linear em x quando vista como dx/dy. Conclusão: NÃO é linear.

Passo 4

Testar exatidão (e a possibilidade de fator integrante que dependa somente de x ou somente de y).
  • Calcula-se as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2}+3y^{2},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=3x^{2}.
  • Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x (a diferença é 3y^{2}), a forma não é exata.
  • Teste padrão para fator integrante dependente de x: verificar se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} é função apenas de x.
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{3y^{2}}{x^{3}+3y^{2}},
que depende de y; não é função só de x.
  • Teste para fator integrante dependente de y: verificar se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} é função apenas de y.
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{-3y^{2}}{3x^{2}y+y^{3}}=-\frac{3y}{3x^{2}+y^{2}},
que depende de x; não é função só de y.
  • Portanto não existe fator integrante que dependa somente de x nem somente de y segundo os testes usuais.

Passo 5

Investigar fatores integrantes do tipo x^{a}y^{b} (fator integrante monomial).
  • Assumir \mu(x,y)=x^{a}y^{b}. Impor a condição de exatidão para \mu M\,dx + \mu N\,dy dá um sistema para a,b.
  • Ao desenvolver as potências e comparar termos, obtém-se que não existe par (a,b) que anule as diferenças de expoentes (isso resulta de comparar os monômios gerados; a comparação conduz a equações incompatíveis). Conclusão: não há fator integrante monomial x^{a}y^{b}.
  • Comentário técnico: este cálculo foi feito equacionando as potências de x e y nas derivadas parciais e verificando que não existe solução (a,b) que torne o formulário exato.

Passo 6

Tentar mudança de variáveis do tipo homogénea (por exemplo y=vx ou x=vy) ou outras substituições simples.
  • Tentar y=vx: substituindo y=vx e escrevendo v+ x\,dv/dx para dy/dx, dá-se uma equação que ainda depende de x e v de forma não separável. Portanto essa substituição não reduz ao caso separável/exato de maneira imediata.
  • Tentar x=vy (ou y=vx do outro ponto de vista) dá um resultado análogo: não se obtém uma equação elementar separável.
  • Tentar z=y^{2}/x ou z=y^{2}/x^{3} também conduz a expressões racionais que não se separam de forma simples.
  • Conclusão prática: substituições simples usuais (homogeneidade, razão y/x, potências) não reduzem esta equação a uma forma elementar separável ou exata.

Passo 7

Interpretação: classificação final pedida em (a).
  • Resumo das verificações:
    • Não é separável.
    • Não é linear.
    • Não é exata.
    • Não possui fator integrante que dependa somente de x ou somente de y (pelos testes usuais).
    • Não admite fator integrante monomial x^{a}y^{b}.
    • Não foi encontrada uma mudança de variáveis simples que reduza diretamente para separável/linear/exata.
  • Portanto a classificação com as opções dadas é: a equação NÃO é separável, NÃO é linear, NÃO é exata, NÃO é exata por fator integrante simples (dependente só de x ou só de y ou do tipo x^{a}y^{b}). Logo, a classificação adequada entre as opções oferecidas é: “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis?” — na prática: não se reduz por mudança de variável elementar às categorias listadas (pelo menos por mudanças usuais). Em linguagem direta: a EDO não pertence a nenhuma das classes simples (separável, linear, exata) e não admite fator integrante simples; é uma EDO racional que exige técnicas mais avançadas ou um fator integrante dependente de combinação de x,y.

Passo 8

Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU) e propriedades locais da solução (questão (c)).
  • Reescrevendo na forma normal:
\frac{dy}{dx}=f(x,y),\qquad f(x,y)=-\frac{3x^{2}y+y^{3}}{x^{3}+3y^{2}}.
  • Verificar continuidade de f e de \partial f/\partial y numa vizinhança do ponto (1,1):
    • O denominador x^{3}+3y^{2} vale 1^{3}+3\cdot1^{2}=4\neq0 em (1,1), portanto f é bem definida e é função racional suave numa vizinhança de (1,1).
    • A derivada parcial \partial f/\partial y também é racional com denominador (x^{3}+3y^{2})^{2}, que é não nulo perto de (1,1). Logo \partial f/\partial y é contínua numa vizinhança de (1,1).
  • Pelo TEU (condições de continuidade e Lipschitz local em y obtidas pela continuidade de \partial f/\partial y), existe uma solução única, local, que satisfaz y(1)=1. Assim existe e é única uma solução por curvas integrais passando por (1,1).

Passo 9

Estado final sobre resolução (questão (b)) — observações e conclusão prática.
  • Depois das tentativas padrões (exatidão, fator integrante em x ou y, fator monomial, substituições homogêneas), a equação não cede a uma solução explícita elementar simples (isto é, não aparece uma primitiva óbvia que leve a F(x,y)=C com funções elementares).
  • Pelo exposto, a solução geral pode ser apresentada implicitamente apenas mediante um fator integrante não trivial ou através de métodos computacionais/simbólicos (ou seja, a resolução analítica fechada em termos de funções elementares não é imediata com os métodos elementares ensinados em disciplinas iniciais).
  • Entretanto, como o TEU garante existência e unicidade local, sabemos que há uma única função y(x) satisfazendo a condição inicial y(1)=1; essa solução pode ser obtida numericamente ou indiretamente (por exemplo, integração numérica, séries de potência centradas em x=1, ou fator integrante não elementar).

Resposta

(a) A equação NÃO é separável, NÃO é linear, NÃO é exata; não admite fator integrante que dependa apenas de x ou apenas de y nem um fator integrante monomial x^{a}y^{b} pelos testes usuais. Portanto não se enquadra nas categorias elementares dadas através de uma mudança de variável simples (na prática: é uma EDO racional que requer um fator integrante não trivial ou método mais avançado).
(b) Não se obteve uma solução explícita em forma elementar com os métodos elementares; para obter a solução que satisfaz y(1)=1 é necessário usar um fator integrante não trivial, técnicas avançadas ou integração numérica/expansão em série.
(c) Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe e é única uma solução local y(x) satisfazendo y(1)=1, porque f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas em uma vizinhança de (1,1).

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