Para cada problema de valor inicial abaixo:
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Exercício 10. Considere
a) Classifique a equação diferencial entre: separável, linear, exata, exata por fator integrante ou “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis”.
b) Resolva a equação diferencial e determine a solução que satisfaz a condição inicial.
c) (Quando indicado) discuta a aplicação do Teorema de Existência e Unicidade (TEU).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial a seguir e pede (a) classificação, (b) resolução com a condição inicial e (c) discutir (quando indicado) o Teorema de Existência e Unicidade:
Informações relevantes dadas:
- Forma diferencial:
com e . - Condição inicial: o ponto
. - O problema pede (a) classificar a equação entre as opções dadas; (b) resolver e impor a condição inicial; (c) discutir TEU se for o caso.
Passo 2
Verificar se a equação é separável.
- Para ser separável precisamos poder escrever
. - Passando para a forma explícita:
- O membro direito não se separa em produto de função só de
por função só de (há mistura polinomial entre e ). Logo: a equação NÃO é separável.
Passo 3
Verificar se a equação é linear em
(ou em
).
- Escrever na forma padrão linear em
: uma EDO de 1ª ordem linear tem forma . - Aqui a expressão para
é racional não linear em (aparecem termos no numerador e no denominador), portanto NÃO é uma equação linear em . - Também não é linear em
quando vista como . Conclusão: NÃO é linear.
Passo 4
Testar exatidão (e a possibilidade de fator integrante que dependa somente de
ou somente de
).
- Calcula-se as derivadas parciais:
- Como
(a diferença é ), a forma não é exata. - Teste padrão para fator integrante dependente de
: verificar se é função apenas de .
que depende de
; não é função só de
.
- Teste para fator integrante dependente de
: verificar se é função apenas de .
que depende de
; não é função só de
.
- Portanto não existe fator integrante que dependa somente de
nem somente de segundo os testes usuais.
Passo 5
Investigar fatores integrantes do tipo
(fator integrante monomial).
- Assumir
. Impor a condição de exatidão para dá um sistema para . - Ao desenvolver as potências e comparar termos, obtém-se que não existe par
que anule as diferenças de expoentes (isso resulta de comparar os monômios gerados; a comparação conduz a equações incompatíveis). Conclusão: não há fator integrante monomial . - Comentário técnico: este cálculo foi feito equacionando as potências de
e nas derivadas parciais e verificando que não existe solução que torne o formulário exato.
Passo 6
Tentar mudança de variáveis do tipo homogénea (por exemplo
ou
) ou outras substituições simples.
- Tentar
: substituindo e escrevendo para , dá-se uma equação que ainda depende de e de forma não separável. Portanto essa substituição não reduz ao caso separável/exato de maneira imediata. - Tentar
(ou do outro ponto de vista) dá um resultado análogo: não se obtém uma equação elementar separável. - Tentar
ou também conduz a expressões racionais que não se separam de forma simples. - Conclusão prática: substituições simples usuais (homogeneidade, razão
, potências) não reduzem esta equação a uma forma elementar separável ou exata.
Passo 7
Interpretação: classificação final pedida em (a).
- Resumo das verificações:
- Não é separável.
- Não é linear.
- Não é exata.
- Não possui fator integrante que dependa somente de
ou somente de (pelos testes usuais). - Não admite fator integrante monomial
. - Não foi encontrada uma mudança de variáveis simples que reduza diretamente para separável/linear/exata.
- Portanto a classificação com as opções dadas é: a equação NÃO é separável, NÃO é linear, NÃO é exata, NÃO é exata por fator integrante simples (dependente só de
ou só de ou do tipo ). Logo, a classificação adequada entre as opções oferecidas é: “reduzível a uma dessas categorias por mudança de variáveis?” — na prática: não se reduz por mudança de variável elementar às categorias listadas (pelo menos por mudanças usuais). Em linguagem direta: a EDO não pertence a nenhuma das classes simples (separável, linear, exata) e não admite fator integrante simples; é uma EDO racional que exige técnicas mais avançadas ou um fator integrante dependente de combinação de .
Passo 8
Discussão do Teorema de Existência e Unicidade (TEU) e propriedades locais da solução (questão (c)).
- Reescrevendo na forma normal:
- Verificar continuidade de
e de numa vizinhança do ponto : - O denominador
vale em , portanto é bem definida e é função racional suave numa vizinhança de . - A derivada parcial
também é racional com denominador , que é não nulo perto de . Logo é contínua numa vizinhança de .
- O denominador
- Pelo TEU (condições de continuidade e Lipschitz local em
obtidas pela continuidade de ), existe uma solução única, local, que satisfaz . Assim existe e é única uma solução por curvas integrais passando por .
Passo 9
Estado final sobre resolução (questão (b)) — observações e conclusão prática.
- Depois das tentativas padrões (exatidão, fator integrante em
ou , fator monomial, substituições homogêneas), a equação não cede a uma solução explícita elementar simples (isto é, não aparece uma primitiva óbvia que leve a com funções elementares). - Pelo exposto, a solução geral pode ser apresentada implicitamente apenas mediante um fator integrante não trivial ou através de métodos computacionais/simbólicos (ou seja, a resolução analítica fechada em termos de funções elementares não é imediata com os métodos elementares ensinados em disciplinas iniciais).
- Entretanto, como o TEU garante existência e unicidade local, sabemos que há uma única função
satisfazendo a condição inicial ; essa solução pode ser obtida numericamente ou indiretamente (por exemplo, integração numérica, séries de potência centradas em , ou fator integrante não elementar).
Resposta
(a) A equação NÃO é separável, NÃO é linear, NÃO é exata; não admite fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
nem um fator integrante monomial
pelos testes usuais. Portanto não se enquadra nas categorias elementares dadas através de uma mudança de variável simples (na prática: é uma EDO racional que requer um fator integrante não trivial ou método mais avançado).
(b) Não se obteve uma solução explícita em forma elementar com os métodos elementares; para obter a solução que satisfaz é necessário usar um fator integrante não trivial, técnicas avançadas ou integração numérica/expansão em série.
(c) Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe e é única uma solução local satisfazendo
, porque
e
são contínuas em uma vizinhança de
.
(b) Não se obteve uma solução explícita em forma elementar com os métodos elementares; para obter a solução que satisfaz
(c) Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe e é única uma solução local