Exercício 14. (Bernoulli geral) Resolva o PVI
(a) Classifique a equação. (b) Use a mudança
adequada ao caso de Bernoulli (lista 1) para obter uma equação linear em
, e então determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
O que é pedido:
(a) classificar a equação;
(b) usar a mudança adequada ao caso de Bernoulli para obter uma equação linear em
e então determinar
.
(a) classificar a equação;
(b) usar a mudança
Passo 2
Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão usada para identificar o tipo. A forma padrão da equação de Bernoulli é
Reescrevendo a equação dada:
podemos ver que ela já está numa forma compatível com a forma acima, com
Portanto (a) a equação é uma equação de Bernoulli com expoente
.
Passo 3
Explico agora o método do Bernoulli (de forma bem prática): para
faz-se a substituição
No nosso caso
, logo
A ideia é transformar a equação não linear em uma equação linear para
. Vamos calcular
em termos de
e
. Derivando
obtemos
Passo 4
Usamos a expressão de
obtida pela equação original. Da equação dada temos
Substituindo essa expressão em
:
Agora substituímos
para obter uma equação só em
:
Reorganizando em forma linear padrão:
Passo 5
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
Vou aplicar o método do fator integrante. O coeficiente de
é
. O fator integrante
é
Multiplicando a equação por
obtemos
que é exatamente a derivada do produto
:
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 6
Agora usamos a condição inicial
. Como
, então
. Substituindo
em
temos
Portanto
Lembrando que
, temos
Como a condição inicial dá
, escolhemos a raiz positiva:
Observação rápida: a solução é definida para
, intervalo que contém
.
Resposta
(a) A equação é uma equação de Bernoulli com
.
(b)
(b)