Exercício 14. (Bernoulli geral) Resolva o PVI
y^{\prime}-\frac{2}{x} y=x y^{3}, \quad y(1)=1, \quad x>0 .
(a) Classifique a equação. (b) Use a mudança u=y^{1-n} adequada ao caso de Bernoulli (lista 1) para obter uma equação linear em u, e então determine y(x).

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y^{\prime}-\frac{2}{x}y = x y^{3},\qquad y(1)=1,\qquad x>0.
O que é pedido:
(a) classificar a equação;
(b) usar a mudança u=y^{1-n} adequada ao caso de Bernoulli para obter uma equação linear em u e então determinar y(x).

Passo 2

Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão usada para identificar o tipo. A forma padrão da equação de Bernoulli é
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}.
Reescrevendo a equação dada:
y' - \frac{2}{x}y = x y^{3}
podemos ver que ela já está numa forma compatível com a forma acima, com
p(x) = -\frac{2}{x},\qquad q(x)=x,\qquad n=3.
Portanto (a) a equação é uma equação de Bernoulli com expoente n=3.

Passo 3

Explico agora o método do Bernoulli (de forma bem prática): para
y' + p(x)y = q(x) y^{n}
faz-se a substituição
u = y^{1-n}.
No nosso caso n=3, logo
u = y^{1-3} = y^{-2}.
A ideia é transformar a equação não linear em uma equação linear para u. Vamos calcular u' em termos de y e y'. Derivando u=y^{-2} obtemos
u' = -2 y^{-3} y'.

Passo 4

Usamos a expressão de y' obtida pela equação original. Da equação dada temos
y' = \frac{2}{x}y + x y^{3}.
Substituindo essa expressão em u' = -2 y^{-3} y':
u' = -2 y^{-3}\!\left(\frac{2}{x}y + x y^{3}\right) = -2\!\left(\frac{2}{x} y^{-2} + x\right).
Agora substituímos y^{-2}=u para obter uma equação só em u:
u' = -\frac{4}{x}u - 2x.
Reorganizando em forma linear padrão:
u' + \frac{4}{x}u = -2x.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
u' + \frac{4}{x}u = -2x.
Vou aplicar o método do fator integrante. O coeficiente de u é a(x)=\dfrac{4}{x}. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{4}{x}\,dx\right)=\exp(4\ln x)=x^{4}.
Multiplicando a equação por x^{4} obtemos
x^{4}u' + 4x^{3}u = -2x^{5},
que é exatamente a derivada do produto x^{4}u:
\big(x^{4}u\big)' = -2x^{5}.
Integramos ambos os lados em x:
x^{4}u = \int -2x^{5}\,dx = -\frac{2}{6}x^{6} + C = -\frac{x^{6}}{3} + C,
onde C é constante de integração. Assim
u(x) = -\frac{x^{2}}{3} + C x^{-4}.

Passo 6

Agora usamos a condição inicial y(1)=1. Como u=y^{-2}, então u(1)=1^{-2}=1. Substituindo x=1 em
u(1) = -\frac{1^{2}}{3} + C\cdot 1^{-4} = -\frac{1}{3} + C,
temos
-\frac{1}{3}+C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
Portanto
u(x) = -\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}x^{-4} = \frac{4 - x^{6}}{3x^{4}}.
Lembrando que u=y^{-2}, temos
y^{-2} = \frac{4 - x^{6}}{3x^{4}} \quad\Rightarrow\quad y^{2} = \frac{3x^{4}}{4 - x^{6}}.
Como a condição inicial dá y(1)=1>0, escolhemos a raiz positiva:
y(x) = \sqrt{\frac{3x^{4}}{4 - x^{6}}},\qquad \text{(válida enquanto }4 - x^{6}>0\text{ e }x>0\text{)}.á
Observação rápida: a solução é definida para 0<x<4^{1/6}=2^{1/3}, intervalo que contém x=1.

Resposta

(a) A equação é uma equação de Bernoulli com n=3.
(b) \displaystyle y(x)=\sqrt{\frac{3x^{4}}{4 - x^{6}}}

Exercícios relacionados