Exercício 15. (Equação homogênea) Considere
y^{\prime}=\frac{y-x}{y+x}, \quad y(1)=2
(a) Mostre que a equação é homogênea (o lado direito depende apenas de y / x ). (b) Use a substituição v=y / x para reduzi-la a uma equação separável em v(x) e resolva o PVI.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y'=\frac{y-x}{y+x},\qquad y(1)=2.
O que pede:
  • (a) Mostrar que o lado direito depende apenas de y/x (ou seja, é uma função de y/x — o enunciado chama isso de “homogênea”).
  • (b) Fazer a substituição v=\dfrac{y}{x} para reduzir a equação a uma equação separável em v(x), resolver essa equação e obter a solução do problema de valor inicial (PVI) indicado.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita do lado direito é \dfrac{y-x}{y+x}.
  • A condição inicial fixa o valor da solução em x=1: y(1)=2 (logo, se usarmos v=y/x, teremos v(1)=2).

Passo 2

Mostrando que a expressão depende apenas de y/x.
Pegue a fração \dfrac{y-x}{y+x}. Divida numerador e denominador por x (assumindo x\neq0, o que é legítimo perto de x=1):
\frac{y-x}{y+x}=\frac{\dfrac{y}{x}-1}{\dfrac{y}{x}+1}.
Definindo v=\dfrac{y}{x}, essa razão fica
\frac{y-x}{y+x}=\frac{v-1}{v+1},
que depende somente de v=y/x. Portanto o lado direito é de fato uma função apenas de y/x, como o enunciado pedia.
Breve comentário didático: esse é o teste padrão para equações homogêneas de primeira ordem — se ao dividir por x aparece apenas y/x, a equação é reduzível pela substituição v=y/x.

Passo 3

Aplicando a substituição v=\dfrac{y}{x} e obter a equação para v(x).
Escreva y=vx. Diferenciando em relação a x (regra do produto):
y' = v + x v'.
Substituindo na equação original \;y'=\dfrac{y-x}{y+x}\; e usando a expressão em v do passo anterior, obtemos:
v + x v' = \frac{v-1}{v+1}.
Agora isolamos v'. Subtraindo v dos dois lados:
x v' = \frac{v-1}{v+1} - v.
Façamos a subtração com denominador comum v+1:
\frac{v-1}{v+1} - v = \frac{v-1 - v(v+1)}{v+1} = \frac{v-1 - v^2 - v}{v+1} = \frac{-v^2-1}{v+1} = -\frac{v^2+1}{v+1}.
Portanto
x v' = -\frac{v^2+1}{v+1}.
Isso leva à equação diferencial para v:
v' = -\frac{v^2+1}{x(v+1)}.

Passo 4

Separando variáveis (tornar em forma integrável).
Escrevemos v' como \dfrac{dv}{dx} e separamos:
\frac{v+1}{v^2+1}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Comentário didático sobre separação: a ideia é agrupar todos os termos em v com dv num lado e os termos em x com dx no outro, assim podemos integrar ambos os lados independentemente.
Antes de integrar, decomponha o integrando à esquerda:
\frac{v+1}{v^2+1} = \frac{v}{v^2+1} + \frac{1}{v^2+1}.
As primitivas conhecidas são:
\int \frac{v}{v^2+1}\,dv = \frac{1}{2}\ln(v^2+1), \qquad \int \frac{1}{v^2+1}\,dv = \arctan v.
Portanto ao integrar os dois lados:
\int \frac{v+1}{v^2+1}\,dv = \frac{1}{2}\ln(v^2+1) + \arctan v, \qquad \int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C.
Assim obtemos a relação implícita
\frac{1}{2}\ln(v^2+1) + \arctan v = -\ln|x| + C.

Passo 5

Determinação da constante pela condição inicial e retorno à variável y.
Usamos a condição inicial y(1)=2. Com v=y/x isso dá v(1)=2. Substituindo x=1 e v=2 na expressão integrada para encontrar C:
\frac{1}{2}\ln(2^2+1) + \arctan 2 = -\ln|1| + C.
Como \ln|1|=0, segue
C = \frac{1}{2}\ln 5 + \arctan 2.
Portanto a solução implícita, em v, é
\frac{1}{2}\ln(v^2+1) + \arctan v = -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln 5 + \arctan 2.
Agora substituímos v=\dfrac{y}{x}. Para simplificar a expressão, observe que
v^2+1=\frac{y^2}{x^2}+1=\frac{y^2+x^2}{x^2},
logo
\frac{1}{2}\ln\!\big(v^2+1\big)=\frac{1}{2}\ln\!\big(y^2+x^2\big)-\ln|x|.
Se substituímos essa identidade na equação anterior, os termos com \ln|x| se cancelam e obtemos uma forma elegante e limpa (ver

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln\!\big(y^2+x^2\big)+\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln 5+\arctan 2

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