Exercício 15. (Equação homogênea) Considere
(a) Mostre que a equação é homogênea (o lado direito depende apenas de
). (b) Use a substituição
para reduzi-la a uma equação separável em
e resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que pede:
- (a) Mostrar que o lado direito depende apenas de
(ou seja, é uma função de — o enunciado chama isso de “homogênea”). - (b) Fazer a substituição
para reduzir a equação a uma equação separável em , resolver essa equação e obter a solução do problema de valor inicial (PVI) indicado.
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita do lado direito é
. - A condição inicial fixa o valor da solução em
: (logo, se usarmos , teremos ).
Passo 2
Mostrando que a expressão depende apenas de
.
Pegue a fração
. Divida numerador e denominador por
(assumindo
, o que é legítimo perto de
):
Definindo
, essa razão fica
que depende somente de
. Portanto o lado direito é de fato uma função apenas de
, como o enunciado pedia.
Breve comentário didático: esse é o teste padrão para equações homogêneas de primeira ordem — se ao dividir por
aparece apenas
, a equação é reduzível pela substituição
.
Passo 3
Aplicando a substituição
e obter a equação para
.
Escreva
. Diferenciando em relação a
(regra do produto):
Substituindo na equação original
e usando a expressão em
do passo anterior, obtemos:
Agora isolamos
. Subtraindo
dos dois lados:
Façamos a subtração com denominador comum
:
Portanto
Isso leva à equação diferencial para
:
Passo 4
Separando variáveis (tornar em forma integrável).
Escrevemos
como
e separamos:
Comentário didático sobre separação: a ideia é agrupar todos os termos em
com
num lado e os termos em
com
no outro, assim podemos integrar ambos os lados independentemente.
Antes de integrar, decomponha o integrando à esquerda:
As primitivas conhecidas são:
Portanto ao integrar os dois lados:
Assim obtemos a relação implícita
Passo 5
Determinação da constante pela condição inicial e retorno à variável
.
Usamos a condição inicial
. Com
isso dá
. Substituindo
e
na expressão integrada para encontrar
:
Como
, segue
Portanto a solução implícita, em
, é
Agora substituímos
. Para simplificar a expressão, observe que
logo
Se substituímos essa identidade na equação anterior, os termos com
se cancelam e obtemos uma forma elegante e limpa (ver