Para cada problema de valor inicial, mostre que existe solução. Após, use o método das aproximações sucessivas com a função Phi0(t)=0 para aproximar a solução por uma quantidade finita de interações. Finalmente, encontre a solução do problema de valor inicial usando o limite das interações.
(a) y^prime=2(y+1), y(0)=0.
(b) y^prime=-y-1, y(0)=0.
(c) y^prime=y+1-t, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para cada IVP
y' = f(t,y), y(0)=0
mostrar existência de solução e obter a solução pelo método de Picard (aproximações sucessivas) começando em Phi0(t)=0. Como em todos os casos f(t,y) é contínua em (t,y) e Lipschitz em y (são funções lineares em y), o Teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade da solução em torno de t=0.

Passo 2

O esquema de aproximações sucessivas é
Phi0(t)=0, Phin+1(t)=integral0^tfl(s,Phin(s)r),ds
Mostramos para cada caso que Phin(t) converge para a solução exata quando ntoinfty.

Passo 3

Caso (a): y'=2(y+1).
Aqui f(t,y)=2(y+1).
Phi1(t)=integral0^t2l(Phi0(s)+1r),ds=2integral0^t1,ds=2t
Phi2(t)=2integral0^tl(2s+1r),ds=2l(s^2+sr)|0^t=2t^2+2t
Por indução mostra-se
Phin(t)=sumk=1^n(2t)^kk!,
e portanto
limntoinftyPhin(t)=sumk=1^infty(2t)^kk! =e^2t-1

Passo 4

Caso (b): y'=-y-1.
Aqui f(t,y)=-y-1.
Phi1(t)=integral0^t-1,ds=-t
Phi2(t)=integral0^t-l(Phi1(s)+1r),ds =integral0^t(s-1),ds=t^22-t
Por indução mostra-se
Phin(t)=sumk=1^n(-t)^kk!,
e logo
limntoinftyPhin(t)=sumk=1^infty(-t)^kk! =e^-t-1

Passo 5

Caso (c): y'=y+1-t.
Aqui f(t,y)=y+1-t.
Phi1(t)=integral0^t(0+1-s),ds =t-t^22
Phi2(t)=integral0^tl(Phi1(s)+1-sr),ds =integral0^tl(s-tfracs^22+1-sr),ds =integral0^tl(1-tfracs^22r),ds =t-t^36
Por indução verifica-se
Phin(t)=t-t^,n+1(n+1)!,
e como t^,n+1(n+1)!to0, temos
limntoinftyPhin(t)=t

Resposta

(a) y(t)=e^2t-1.
(b) y(t)=e^-t-1.
(c) y(t)=t.

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