Para cada problema de valor inicial, mostre que existe solução. Após, use o método das aproximações sucessivas com a função para aproximar a solução por uma quantidade finita de interações. Finalmente, encontre a solução do problema de valor inicial usando o limite das interações.
(a) .
(b) .
(c) .
Passo 1
O enunciado pede para cada IVP
mostrar existência de solução e obter a solução pelo método de Picard (aproximações sucessivas) começando em . Como em todos os casos é contínua em e Lipschitz em (são funções lineares em ), o Teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade da solução em torno de .
Passo 2
O esquema de aproximações sucessivas é
Mostramos para cada caso que converge para a solução exata quando .
Passo 3
Caso (a): .
Aqui .
–
–
Por indução mostra-se
Phin(t)=sumk=1^n(2t)^kk!,
e portanto
limntoinftyPhin(t)=sumk=1^infty(2t)^kk! =e^2t-1
Passo 4
Caso (b): y'=-y-1.
Aqui f(t,y)=-y-1.
– Phi1(t)=integral0^t-1,ds=-t
– Phi2(t)=integral0^t-l(Phi1(s)+1r),ds =integral0^t(s-1),ds=t^22-t
Por indução mostra-se
Phin(t)=sumk=1^n(-t)^kk!,
e logo
limntoinftyPhin(t)=sumk=1^infty(-t)^kk! =e^-t-1
Passo 5
Caso (c): y'=y+1-t.
Aqui f(t,y)=y+1-t.
– Phi1(t)=integral0^t(0+1-s),ds =t-t^22
– Phi2(t)=integral0^tl(Phi1(s)+1-sr),ds =integral0^tl(s-tfracs^22+1-sr),ds =integral0^tl(1-tfracs^22r),ds =t-t^36
Por indução verifica-se