Para as EDO’s abaixo, mostre que as funções y1=y1(t) e y2=y2(t) formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. Após, encontre a solução geral.
y^prime prime-2t^2 y=3-1t^2, t>0 ; y1=t^2 y2=t^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO não homogênea
y'' - 2t^2,y = 3 - 1t^2, t>0
e indica duas soluções do homogêneo associado
y1(t)=t^2, y2(t)=t^-1
O que vamos precisar:
  1. Verificar que y1 e y2 satisfazem
y'' - 2t^2y=0
e que seu Wronskiano é não nulo, para garantir que são um conjunto fundamental.
2. Usar variação de parâmetros para encontrar uma solução particular yp.
3. Somar yp à solução geral do homogêneo yh para obter a solução geral.

Passo 2

Verificamos primeiro que y1 e y2 satisfazem o homogêneo.
Para y1=t^2:
y1'=2t, y1''=2,
y1''-2t^2y1=2 - 2t^2,(t^2)=2-2=0
Para y2=t^-1:
y2'=-t^-2, y2''=2t^-3,
y2''-2t^2y2=2t^-3-2t^2,(t^-1)=2t^-3-2t^-3=0
O Wronskiano é
W(t)= y1 & y2[6pt] y1' & y2' =t^2,(-t^-2) - (2t),(t^-1) =-1 -2 = -3neq0 ]

Passo 3

Como W(t)neq0 em t>0, y1,y2 é um conjunto fundamental do homogêneo.
A solução geral do homogêneo é
yh(t)=C1,t^2 + C2,t^-1

Passo 4

Para achar uma solução particular yp usamos variação de parâmetros.
Escrevemos
yp=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t),
onde
u1'=-g(t),y2W, u2'=g(t),y1W,
com g(t)=3-tfrac1t^2 e W=-3.

Passo 5

Calculamos u1' e u2':
u1' =-l(3-tfrac1t^2r)t^-1-3 =3t^-1-t^-33 =t^-1-tfrac13,t^-3,
u2' =l(3-tfrac1t^2r)t^2-3 =-3t^2-13 =-t^2+tfrac13
Agora integramos:
u1(t)=integrall(t^-1-tfrac13,t^-3r)dt =ln t + tfrac16t^-2,
u2(t)=integrall(-t^2+tfrac13r)dt =-tfract^33 + tfract3

Passo 6

Montamos
yp =u1,t^2+u2,t^-1 =(ln t + tfrac16t^-2),t^2 +l(-tfract^33+tfract3r)t^-1
Isso dá
yp = t^2ln t + tfrac16 -tfract^23 + tfrac13 = t^2ln t - tfrac13t^2 + tfrac12
Portanto a solução geral da EDO é

Resposta

y(t) =C1t^2 ;+; C2t^-1 ;+;t^2ln t ;-;tfrac13t^2;+;tfrac12, t>0

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