Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
y^prime prime+y=upi2(t)+3 de<a(t-3 pi2) y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y''+y = upi2(t) + 3,de<a!l(t-tfrac3pi2r), y(0)=0,;y'(0)=0
O conteúdo é o uso da transformada de Laplace com condições iniciais nulas e a inversão de termos envolvendo função degrau e impulso (delta de Dirac).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Como y(0)=0 e y'(0)=0, tem-se
Ly'' + Ly = s^2Y(s) + Y(s) = (s^2+1),Y(s)
Do lado direito,
Lupi2(t) = e^-pi2ss, L3,de<a(t-tfrac3pi2) = 3,e^-3pi2s
Logo,
(s^2+1),Y(s) = e^-pi2ss + 3,e^-3pi2s,
ou seja
Y(s) = e^-pi2ss,(s^2+1) + 3,e^-3pi2ss^2+1

Passo 3

Vamos inverter o primeiro termo usando o teorema do segundo deslocamento:
L^-1!l1s(s^2+1)r = 1 - cos t,
pois
L1=1/s e Lcos t=s/(s^2+1).
Então
L^-1!le^-pi2ss(s^2+1)r = upi2(t),l[1 - cosl(t-tfracpi2r)r]

Passo 4

Para o segundo termo, reconhecemos
L^-1!l1s^2+1r = sin t,
logo, pelo deslocamento,
L^-1!l3,e^-3pi2ss^2+1r = 3,u3pi2(t),sinl(t-tfrac3pi2r)

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t) = upi2(t),l[1 - cosl(t-tfracpi2r)r] + 3,u3pi2(t),sinl(t-tfrac3pi2r)

Resposta

y(t) = upi2(t),l[1 - cosl(t-tfracpi2r)r] + 3,u3pi2(t),sinl(t-tfrac3pi2r)

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