Calcule o volume do elipsóide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 <= 1.
Sugestão: Utilize mudança para coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do elipsóide
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2<=1
O conteúdo é cálculo de volume usando mudança de variáveis (coordenadas esféricas generalizadas). Vamos transformar o elipsóide numa esfera unitária.

Passo 2

Proponha a transformação
x = a,rsinphicostheta, y = b,rsinphisintheta, z = c,rcosphi,
com 0<= r<=1, 0<=phi<=pi, 0<=theta<2pi.
O jacobiano dessa mudança vale
J = detpartial(x,y,z)partial(r,phi,theta) = a,b,c;r^2sinphi

Passo 3

Sob essa mudança, a região vira a bola unitária r<=1. Assim o volume é dado pela integral tripla
V = integral0^2pi!integral0^pi!integral0^1 a,b,c;r^2sinphi;dr,dphi,dtheta

Passo 4

Calcule separadamente cada parte:
integral0^1r^2,dr=13, integral0^pisinphi,dphi=2, integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando:
V = a,b,c;times13times2times2pi = 43pi,a,b,c

Resposta

V = 43pi,a,b,c

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