Em cada problema de valor inicial, utilize o teorema de Peano ou o teorema de Picard para determinar se existe uma única solução em torno da condição inicial, se existe uma solução em torno da condição inicial mas não necessariamente única, ou se nada podemos afirmar quanto à existência de soluções. Não é necessário encontrar as soluções.
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
, com condição
, e pede para usar os teoremas de Peano ou de Picard para verificar existência e/ou unicidade de solução localmente em torno de
.
Passo 2
Definimos a função do lado direito como
Para aplicar o teorema de Peano, é preciso que
seja contínua numa vizinhança de
. Para aplicar o teorema de Picard, é preciso ainda que
seja localmente Lipschitz em
nessa mesma vizinhança.
Passo 3
Observamos que
só está definida e é contínua para
. Logo não existe nenhum retângulo aberto em
que contenha
e esteja inteiro no domínio de
. Em particular,
não está sequer definida nem contínua em qualquer intervalo que contenha
.
Passo 4
Como não há nenhuma vizinhança de
em que
seja contínua, não podemos usar nem o teorema de Peano (que exige continuidade de
) nem o teorema de Picard (que exige também condição de Lipschitz em
). Portanto, não há base teórica para garantir nem existência nem unicidade de solução a partir de
.
Resposta
Nada podemos afirmar quanto à existência ou unicidade de soluções em torno da condição inicial
.