Calcule as integrais usando a técnica de integração adequada:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{3}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}\,dx.
Observamos que o numerador x^{2}dx está relacionado à derivada de x^{3}, então a técnica de substituição é adequada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + x^{3},
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du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Os limites em u ficam:
quando x=0, u=1;
quando x=1, u=2.
Assim a integral passa a ser
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}\,dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{2}}\;\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{1}^{2}u^{-2}\,du.

Passo 4

Calculamos
\int u^{-2}\,du = -u^{-1}.
Portanto,
\frac{1}{3}\int_{1}^{2}u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2}+1\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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