Em cada problema de valor inicial, utilize o teorema de Peano ou o teorema de Picard para determinar se existe uma única solução em torno da condição inicial, se existe uma solução em torno da condição inicial mas não necessariamente única, ou se nada podemos afirmar quanto à existência de soluções. Não é necessário encontrar as soluções.
y^{\prime}(x)=3 y^{\frac{2}{3}}, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado trata do problema de valor inicial \displaystyle y'=3\,y^{2/3},\quad y(1)=1,
e pede para usar os teoremas de Peano e de Picard para decidir se há existência de solução local, unicidade ou se nada se pode afirmar.

Passo 2

Aplicando o teorema de Peano, verificamos a continuidade de \displaystyle f(x,y)=3\,y^{2/3}
num retângulo em torno de (x_0,y_0)=(1,1). Como a função y\mapsto y^{2/3} é contínua para todo y\in\mathbb{R}, segue que f é contínua nessa vizinhança. Logo, por Peano, existe pelo menos uma solução local passando por (1,1).

Passo 3

Para verificar unicidade pelo teorema de Picard–Lindelöf, checamos a derivada parcial
\frac{\partial f}{\partial y} =3\cdot\frac{2}{3}\,y^{-1/3} =2\,y^{-1/3}.
Esse \frac{\partial f}{\partial y} é contínuo para y\neq 0. Em particular, em algum retângulo que contenha (1,1) e não se aproxime de y=0, ele é contínuo e, portanto, f é Lipschitz em y. Assim, por Picard–Lindelöf, a solução local é única.

Resposta

Existe uma única solução em torno da condição inicial y(1)=1.

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