Em cada problema de valor inicial, utilize o teorema de Peano ou o teorema de Picard para determinar se existe uma única solução em torno da condição inicial, se existe uma solução em torno da condição inicial mas não necessariamente única, ou se nada podemos afirmar quanto à existência de soluções. Não é necessário encontrar as soluções.
y^{\prime}(x)=\operatorname{tanh} \left(x^{2}+y^{2}\right), y(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'(x)=\operatorname{tanh}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), \quad y(0)=0,
e pede, sem encontrar a solução, que a gente use o teorema de Peano e o de Picard para decidir sobre existência e unicidade local. Vamos verificar continuidade de f(x,y)=\operatorname{tanh}(x^{2}+y^{2}) e a regularidade em y.

Passo 2

A função \operatorname{tanh} é contínua em toda reta real, e como x^{2}+y^{2} varia em \mathbb{R}, f(x,y)=\operatorname{tanh}(x^{2}+y^{2}) é contínua em qualquer região que contenha (0,0). Pelo teorema de Peano, isso garante ao menos uma solução local passando por (0,0).

Passo 3

Para avaliar unicidade, calculamos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{d}{dy}\operatorname{tanh}(x^{2}+y^{2}) =(1-\operatorname{tanh}^{2}(x^{2}+y^{2}))\cdot 2y.
Essa derivada parcial em y é contínua numa vizinhança de (0,0). Logo, f satisfaz condição de Lipschitz local em y e o teorema de Picard-Lindelöf garante existência e unicidade da solução em torno de x=0.

Resposta

Existe uma única solução localmente em torno de x=0.

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