Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole
Isso é conteúdo de cônicas, em particular hipérboles no plano cartesiano. Para resolver, vamos escrever na forma padrão
e daí extrair
,
, depois calcular
(que define os focos) e a excentricidade
. Por fim, esboçamos o gráfico usando os vértices e as assimptotas.
Passo 2
Colocando
na forma
vemos que
e
. Logo
Passo 3
Para hipérbole de centro em
e equação
, os vértices são
Aqui, ficam
Passo 4
O parâmetro
que define a distância foco–centro satisfaz
de onde
Os focos estão em
Passo 5
A excentricidade é definida por
Passo 6
Para desenhar:
- Centro em
. - Vértices em
. - Focos em
. - Assimptotas são as retas
A curva abre à direita e à esquerda, aproximando-se dessas retas.
Resposta
vértices:
e
focos: e
excentricidade:
gráfico: hipérbole com eixos em , vértices em
e assimptotas
.
focos:
excentricidade:
gráfico: hipérbole com eixos em