Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
x^2-y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole
x^2 - y^2 = 1
Isso é conteúdo de cônicas, em particular hipérboles no plano cartesiano. Para resolver, vamos escrever na forma padrão
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
e daí extrair a, b, depois calcular c (que define os focos) e a excentricidade e. Por fim, esboçamos o gráfico usando os vértices e as assimptotas.

Passo 2

Colocando
x^2 - y^2 = 1
na forma
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
vemos que a^2=1 e b^2=1. Logo
a = 1, b = 1

Passo 3

Para hipérbole de centro em (0,0) e equação x^2a^2-y^2b^2=1, os vértices são
l(pm a,,0r)
Aqui, ficam
(1,0)e(-1,0)

Passo 4

O parâmetro c que define a distância foco–centro satisfaz
c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 1 = 2,
de onde
c = raiz2
Os focos estão em
l(pm c,,0r) = l(pm raiz2,,0r)

Passo 5

A excentricidade é definida por
e = ca = raiz21 = raiz2

Passo 6

Para desenhar:
  • Centro em (0,0).
  • Vértices em (pm1,0).
  • Focos em (pmraiz2,0).
  • Assimptotas são as retas
;y = pmba,x = pm x
A curva abre à direita e à esquerda, aproximando-se dessas retas.

Resposta

vértices: (1,0) e (-1,0)
focos: l(raiz2,0r) e l(-raiz2,0r)
excentricidade: raiz2
gráfico: hipérbole com eixos em x, vértices em pm1 e assimptotas y=pm x.

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