Sendo
, calcule o valor de
tal que:
, onde
é a medida do ângulo entre
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Produto Escalar e Ângulo entre Vetores. Precisamos encontrar o valor de
que satisfaz a condição:
onde
é o ângulo entre os vetores
e
. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto escalar que relaciona dois vetores e o ângulo entre eles:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores, e
e
são as normas (comprimentos) dos vetores
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas dos vetores
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo na fórmula do produto escalar:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar a fração:
Passo 8
Reorganizando a equação:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 9
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 10
Observamos que o discriminante (
) é negativo, o que indica que não há soluções reais para
. Portanto, não existe um valor real de
que satisfaça a condição dada.
Resposta
Não existe valor real de
que satisfaça a condição
para os vetores dados.