Sendo u=(alpha, 1, alpha-1), v=(0,1,1), calcule o valor de alpha tal que:
cos theta=32 raiz7, onde theta é a medida do ângulo entre u e v.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Produto Escalar e Ângulo entre Vetores. Precisamos encontrar o valor de alpha que satisfaz a condição:
cos theta = 32 raiz7
onde theta é o ângulo entre os vetores u = (alpha, 1, alpha - 1) e v = (0, 1, 1). Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto escalar que relaciona dois vetores e o ângulo entre eles:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos theta
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, e |u| e |v| são as normas (comprimentos) dos vetores u e v, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (alpha)(0) + (1)(1) + (alpha - 1)(1) = 0 + 1 + alpha - 1 = alpha

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores u e v.
Para u = (alpha, 1, alpha - 1):
|u| = raizalpha^2 + 1^2 + (alpha - 1)^2 = raizalpha^2 + 1 + alpha^2 - 2alpha + 1 = raiz2alpha^2 - 2alpha + 2
Para v = (0, 1, 1):
|v| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2

Passo 5

Substituindo na fórmula do produto escalar:
alpha = |u| cdot |v| cdot cos theta
Sabemos que cos theta = 32 raiz7 e |v| = raiz2, então:
alpha = raiz2alpha^2 - 2alpha + 2 cdot raiz2 cdot 32 raiz7

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
alpha = raiz2alpha^2 - 2alpha + 2 cdot 3raiz7
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
alpha^2 = ( raiz2alpha^2 - 2alpha + 2 cdot 3raiz7 )^2
alpha^2 = (2alpha^2 - 2alpha + 2) cdot 97

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar a fração:
7alpha^2 = 9(2alpha^2 - 2alpha + 2)
7alpha^2 = 18alpha^2 - 18alpha + 18

Passo 8

Reorganizando a equação:
7alpha^2 - 18alpha^2 + 18alpha - 18 = 0
-11alpha^2 + 18alpha - 18 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
11alpha^2 - 18alpha + 18 = 0

Passo 9

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
11alpha^2 - 18alpha + 18 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
alpha = 18 pm raiz(-18)^2 - 4 cdot 11 cdot 182 cdot 11
alpha = 18 pm raiz324 - 79222
alpha = 18 pm raiz-46822

Passo 10

Observamos que o discriminante ( raiz-468) é negativo, o que indica que não há soluções reais para alpha. Portanto, não existe um valor real de alpha que satisfaça a condição dada.

Resposta

Não existe valor real de alpha que satisfaça a condição cos theta = 32 raiz7 para os vetores dados.

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