Calcule os determinantes abaixo.
(j)|ccccc1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes grandes usando propriedades que simplificam o processo, como a transformação de linhas e colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que temos:
1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1
Perceba que as últimas três linhas têm muitos zeros. Isso é ótimo porque simplifica nosso trabalho!

Passo 3

Vamos usar uma técnica chamada eliminação por linhas para transformar essa matriz em uma forma triangular, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. O determinante de uma matriz triangular é apenas o produto dos elementos da diagonal principal, o que facilita muito nosso cálculo.

Passo 4

Vamos começar eliminando o elemento da segunda linha, primeira coluna (-2), para zerar abaixo do 1 da primeira linha.
Para isso, fazemos:
  • Linha 2 = Linha 2 + 2 * Linha 1
Aplicando isso:
1 & 3 & 1 & 5 & 3 (-2) + 2(1) & (-7) + 2(3) & 0 + 2(1) & (-4) + 2(5) & 2 + 2(3) 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 = 1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1
Agora, vamos eliminar o elemento (4,3) que é 2. Para isso:
  • Linha 4 = Linha 4 - 2 * Linha 3
Aplicando:
1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 - 2(1) & 1 - 2(0) & 1 - 2(1) 0 & 0 & 0 & 1 & 1 = 1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 1
Agora, vamos eliminar o elemento (5,4) que é 1:
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 4
Aplicando:
1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 - 1 & 1 - (-1) = 1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 2

Passo 5

Agora que temos uma matriz triangular, o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal:
Determinante = 1 times (-1) times 1 times 1 times 2 = -2

Resposta

O determinante da matriz é -2.

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