Sendo u=(alpha, 1, alpha-1), v=(0,1,1), calcule o valor de alpha tal que:
u e v são ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois vetores: u = (alpha, 1, alpha - 1) e v = (0, 1, 1). A questão pede para encontrarmos o valor de alpha que faz com que esses vetores sejam ortogonais.
Conteúdo envolvido: Vetores e ortogonalidade.
O que precisamos: Entender que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. Vamos usar essa propriedade para descobrir o valor de alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto escalar é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Quando esse produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Aplicando essa fórmula aos vetores u e v:
u cdot v = alpha cdot 0 + 1 cdot 1 + (alpha - 1) cdot 1
Vamos calcular cada termo:
  • alpha cdot 0 = 0
  • 1 cdot 1 = 1
  • (alpha - 1) cdot 1 = alpha - 1
Somando tudo:
u cdot v = 0 + 1 + (alpha - 1) = alpha

Passo 4

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
alpha = 0
Portanto, o valor de alpha que satisfaz a condição de ortogonalidade é 0.

Resposta

O valor de alpha é 0.

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