Em cada um dos Problemas 9 e 10, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, em que intervalo a solução é válida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O que aparece aqui é uma equação de primeira ordem na forma
O que aparece aqui é uma equação de primeira ordem na forma
onde
Vamos verificar se ela é exata e, em caso positivo, encontrar sua solução implícita.
Passo 2
Checamos exatidão:
Como
, a equação é exata. Logo existe uma função potencial
tal que
Passo 3
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Agora exigimos . Calculando
:
Agora exigimos
Desprezando
(será incorporado na constante final), temos
A solução implícita é
Passo 4
Usamos a condição inicial
para achar
:
logo
. A solução implícita final é
Passo 5
Podemos resolver para
isolando na equação quadrática em
:
A fórmula de Bhaskara dá
Para satisfazer
escolhemos o sinal “
” pois em
o discriminante é
, e
. Assim
Passo 6
Para saber onde essa solução existe e é única, olhamos dois obstáculos:
- O discriminante
deve ser não negativo. - O denominador da forma
não pode anular, isto é, .
Note que
ocorre exatamente quando o discriminante
.
Calculando numericamente a raiz positiva de , encontramos aproximadamente
.
Para , tem-se
e
.
Calculando numericamente a raiz positiva de
Para
Resposta
A solução geral implícita é
ou explicitamente
O intervalo de validade, contendo
, é aproximadamente