Em cada um dos Problemas 9 e 10, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, em que intervalo a solução é válida.
\left(9 x^{2}+y-1\right)-(4 y-x) y^{\prime}=0, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(9x^{2}+y-1)\;-\;(4y-x)\,y'=0
com condição inicial y(1)=0.
O que aparece aqui é uma equação de primeira ordem na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
onde
M(x,y)=9x^{2}+y-1, \quad N(x,y)=x-4y.
Vamos verificar se ela é exata e, em caso positivo, encontrar sua solução implícita.

Passo 2

Checamos exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata. Logo existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\Psi_x=M \quad\text{e}\quad \Psi_y=N.

Passo 3

Integramos \Psi_x=9x^{2}+y-1 em relação a x:
\Psi(x,y)=\int(9x^{2}+y-1)\,dx =3x^{3}+xy -x +h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.
Agora exigimos \Psi_y=N=x-4y. Calculando \Psi_y:
\Psi_y = x + h'(y) \;\stackrel{!}{=}\; x-4y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-4y \;\Longrightarrow\; h(y)=-2y^2 + C_1.
Desprezando C_1 (será incorporado na constante final), temos
\Psi(x,y)=3x^{3}+xy -x -2y^{2}.
A solução implícita é
\Psi(x,y)=C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=0 para achar C:
\Psi(1,0)=3\cdot1^{3}+1\cdot0 -1 -2\cdot0^{2}=3-1=2,
logo C=2. A solução implícita final é
3x^{3}+xy -x -2y^{2}=2.

Passo 5

Podemos resolver para y isolando na equação quadrática em y:
-2y^{2}+x\,y+(3x^{3}-x-2)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2y^{2}-x\,y - (3x^{3}-x-2)=0.
A fórmula de Bhaskara dá
y(x) =\frac{x \pm \sqrt{x^{2}+8\,(3x^{3}-x-2)}}{4} =\frac{x \pm \sqrt{24x^{3}+x^{2}-8x-16}}{4}.
Para satisfazer y(1)=0 escolhemos o sinal “ -” pois em x=1 o discriminante é \sqrt{1}=1, e \tfrac{1-1}{4}=0. Assim
\boxed{y(x)=\frac{x-\sqrt{24x^{3}+x^{2}-8x-16}}{4}}.

Passo 6

Para saber onde essa solução existe e é única, olhamos dois obstáculos:
  1. O discriminante D(x)=24x^{3}+x^{2}-8x-16 deve ser não negativo.
  2. O denominador da forma y'=(9x^2+y-1)/(4y-x) não pode anular, isto é, 4y(x)-x\neq0.
Note que 4y(x)-x=0 ocorre exatamente quando o discriminante D(x)=0.
Calculando numericamente a raiz positiva de D(x)=0, encontramos aproximadamente x\approx0,985.
Para x>0,985, tem-se D(x)>0 e 4y(x)-x\neq0.

Resposta

A solução geral implícita é
3x^{3}+xy -x -2y^{2}=2,
ou explicitamente
y(x)=\frac{x-\sqrt{24x^{3}+x^{2}-8x-16}}{4}.
O intervalo de validade, contendo x=1, é aproximadamente
(0,985,\;\infty).

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