Determine a equação canônica das circunferências cuja equação está descrita abaixo, identificando o seu centro e o seu raio.
2 x^{2}+2 y^{2}+4 x-4 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2x^{2} + 2y^{2} + 4x - 4y = 0
e pede a forma canônica de uma circunferência, ou seja, completar quadrados para obter
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2},
identificando o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r.

Passo 2

Primeiro dividimos todos os termos por 2 para facilitar a manipulação e agrupamos os termos em x e em y:
x^{2} + y^{2} + 2x - 2y = 0.

Passo 3

Agora completamos o quadrado em x e em y.
Para x:
x^{2} + 2x = (x + 1)^{2} - 1.
Para y:
y^{2} - 2y = (y - 1)^{2} - 1.

Passo 4

Substituindo essas expressões de volta na equação, temos
(x + 1)^{2} - 1 \;+\;(y - 1)^{2} - 1 = 0.
Somando os termos constantes:
(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2.

Passo 5

A forma canônica é
(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2,
da qual obtemos diretamente o centro e o raio:
o centro é (-1,\,1) e o raio é
r = \sqrt{2}.

Resposta

A forma canônica é
(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2,
com centro (-1,\,1) e raio \sqrt{2}.

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