Em cada um dos Problemas 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado:
y^{(4)}-4 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=-2, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial de quarta ordem
y^{(4)} - 4\,y = 0
com as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=-2,\quad y'''(0)=0.
Vamos usar a propriedade da transformada de Laplace para derivadas e depois tomar a transformada inversa para obter y(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo de y^{(4)} - 4y = 0, lembrando que
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}(s)=s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s\,y''(0)-y'''(0),
e \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s), obtemos
\bigl(s^4Y(s)-s^3\cdot1 - s^2\cdot0 - s\cdot(-2) - 0\bigr)\;-\;4\,Y(s)=0.
Isso dá a equação algébrica
(s^4-4)\,Y(s)\;-\;s^3+2s=0.

Passo 3

Isolando Y(s), temos
(s^4-4)\,Y(s)=s^3-2s \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s^3-2s}{s^4-4}.
Repare que s^4-4=(s^2-2)(s^2+2) e o numerador fatoriza como s(s^2-2). Logo
Y(s)=\frac{s(s^2-2)}{(s^2-2)(s^2+2)} =\frac{s}{s^2+2}.

Passo 4

Como sabemos que
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^2+\omega^2},
a forma \tfrac{s}{s^2+2} corresponde a \omega^2=2, ou seja, \omega=\sqrt{2}. Portanto, a transformada inversa é
y(t)=\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

Resposta

y(t)=\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

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