Usando o Test da Interal, determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
usando o Teste da Integral. O conteúdo envolve reconhecer uma função positiva e decrescente cujo comportamento de soma se associa ao de uma integral imprópria.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que
e, para
,
é contínua e estritamente decrescente, pois o denominador cresce com
.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Integral, comparando a série com a integral imprópria
Usamos a substituição
, o que implica
. Quando
,
; quando
,
. Então
Passo 4
Calculamos a integral em
:
Passo 5
que é finito.
Passo 6
Como a integral imprópria converge (o valor é
), pelo Teste da Integral a série
também converge.
Resposta
A série é convergente.