Usando o Test da Interal, determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ell n(n))^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\bigl(\ln(n)\bigr)^{2}}
usando o Teste da Integral. O conteúdo envolve reconhecer uma função positiva e decrescente cujo comportamento de soma se associa ao de uma integral imprópria.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}}
para x\ge2. Note que f(x)>0 e, para x>e, f é contínua e estritamente decrescente, pois o denominador cresce com x.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral, comparando a série com a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}f(x)\,dx = \int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}}.
Usamos a substituição u=\ln(x), o que implica du=dx/x. Quando x=2, u=\ln(2); quando x\to\infty, u\to\infty. Então

Passo 4

\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}} = \int_{\ln(2)}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}.
Calculamos a integral em u:

Passo 5

\int_{\ln(2)}^{\infty}u^{-2}\,du = \Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{\ln(2)}^{\infty} = 0-\bigl(-\tfrac{1}{\ln(2)}\bigr) = \frac{1}{\ln(2)},
que é finito.

Passo 6

Como a integral imprópria converge (o valor é 1/\ln(2)), pelo Teste da Integral a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\bigl(\ln(n)\bigr)^{2}}
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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