Em cada um dos Problemas 29 a 34, use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais e n é uminteiro positivo:
f(t)=t e^{a t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t\,e^{a t}. Vamos usar a propriedade resultado do Problema 28, que afirma
\mathcal{L}\{t^n\,f(t)\}(s)=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}\bigl(F(s)\bigr),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).

Passo 2

Definimos g(t)=e^{a t}. Sabemos que
G(s)=\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},\quad \Re(s)>a.

Passo 3

Como queremos \mathcal{L}\{t\,e^{a t}\}(s), aplicamos a propriedade com n=1:
\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\}(s)=(-1)^1\frac{d}{ds}G(s)=-\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{1}{s-a}\Bigr).

Passo 4

Calculamos a derivada em s:
\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{1}{s-a}\Bigr)=-\frac{1}{(s-a)^2},
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\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\}(s)=-\Bigl(-\frac{1}{(s-a)^2}\Bigr)=\frac{1}{(s-a)^2}.

Resposta

\mathcal{L}\{t\,e^{a t}\}(s)=\frac{1}{(s-a)^2},\quad \Re(s)>a.

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