Em cada um dos Problemas 24 a 26, encontre a transformada de Laplace Y(s)=£\{y\} da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3:
\varphi(t)+2 \int_{0}^{1} \cos (t-\xi) \varphi(\xi) d \xi=e^{-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de Volterra de primeira espécie com núcleo de convolução
\varphi(t) + 2\int_{0}^{t}\cos\bigl(t-\xi\bigr)\,\varphi(\xi)\,d\xi = e^{-1},
e pede a transformada de Laplace \Phi(s)=\mathcal{L}\{\varphi\}(s) da solução. Vamos usar a propriedade da transformada de convolução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que
\mathcal{L}\{\varphi(t)\}(s)=\Phi(s),
\mathcal{L}\Bigl\{\!\int_{0}^{t}\cos(t-\xi)\,\varphi(\xi)\,d\xi\Bigr\}(s) =\mathcal{L}\{\cos t\}(s)\,\Phi(s),
e
\mathcal{L}\{e^{-1}\}(s)=\frac{e^{-1}}{s}.
Logo,
\Phi(s) \;+\; 2\,\mathcal{L}\{\cos t\}(s)\,\Phi(s) \;=\;\frac{e^{-1}}{s}.

Passo 3

Sabemos que
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.
Substituindo,
\Phi(s) \;+\; 2\,\frac{s}{s^{2}+1}\,\Phi(s) \;=\;\frac{e^{-1}}{s}.

Passo 4

Colocamos \Phi(s) em evidência:
\Phi(s)\Bigl(1 + 2\,\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr) =\frac{e^{-1}}{s},
\Phi(s)\;\frac{s^{2}+1 + 2s}{s^{2}+1} =\frac{e^{-1}}{s},
\Phi(s) =\frac{e^{-1}}{s}\;\frac{s^{2}+1}{\,s^{2}+1+2s\,} =\frac{e^{-1}\,(s^{2}+1)}{s\bigl(s^{2}+2s+1\bigr)}.

Passo 5

Observando que s^{2}+2s+1=(s+1)^{2}, obtemos a forma final da transformada:

Resposta

\Phi(s)=\mathcal{L}\{\varphi\}(s) =\frac{e^{-1}\,\bigl(s^{2}+1\bigr)}{s\,(s+1)^{2}}.

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