Considere a Transformada de Laplace
, onde
(a) Usando o Problema 26, mostre que
(b) Seja
igual a um inteiro positivo
em (a); mostre que
(c) Mostre que
É possível mostrar que
portanto,
(d) Mostre que
(a) Usando o Problema 26, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
com
e, em seguida, casos particulares: (a) obter a forma geral usando a mudança de variável; (b)
; (c)
; (d)
. Vamos precisar da definição
e da integral de Euler
Passo 2
Para a parte (a), começamos com
Fazemos a mudança de variável
, então
e
. Substituindo, obtemos
Passo 3
Para (b), escolhemos
inteiro não negativo. Como
, segue
Passo 4
Na parte (c), tomamos
. Então
Usamos a mudança de variável
, logo
e
. Assim
Passo 5
Sabe-se que
Substituindo, vem
Passo 6
Para (d), basta usar
na fórmula geral do passo 2:
logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)