Considere a Transformada de Laplace t^{p}, onde p>-1
(a) Usando o Problema 26, mostre que
\begin{aligned} £\left\{t^{p}\right\} & =\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{p} d t=\frac{1}{s^{p+1}} \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p} d x \\\ & =\Gamma(p+n) / £^{p+1}, \quad s>0 \end{aligned}
(b) Seja p igual a um inteiro positivo n em (a); mostre que
£\left\{t^{n}\right\}=n!/ s^{n+1}, \quad s>0
(c) Mostre que
£\left\{t^{-1 / 2}\right\}=\frac{1}{\sqrt{s}} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x, \quad s>0
É possível mostrar que
\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
portanto,
£\left\{t^{-1 / 2}\right\}=\sqrt{\pi / s}, \quad s>0
(d) Mostre que
£\left\{t^{1 / 2}\right\}=\sqrt{\pi} /\left(2 s^{3 / 2}\right), \quad s>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de t^{p} com p>-1 e, em seguida, casos particulares: (a) obter a forma geral usando a mudança de variável; (b) p=n\in\mathbb{N}; (c) p=-\tfrac12; (d) p=\tfrac12. Vamos precisar da definição
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt
e da integral de Euler
\int_{0}^{\infty}x^{p}e^{-x}\,dx=\Gamma(p+1).

Passo 2

Para a parte (a), começamos com
\mathcal{L}\{t^{p}\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{p}\,dt.
Fazemos a mudança de variável x=s\,t, então t=x/s e dt=dx/s. Substituindo, obtemos
\mathcal{L}\{t^{p}\} =\int_{0}^{\infty}e^{-x}\!\bigl(\tfrac{x}{s}\bigr)^{p}\frac{dx}{s} =\frac{1}{s^{p+1}}\int_{0}^{\infty}x^{p}e^{-x}\,dx =\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.

Passo 3

Para (b), escolhemos p=n inteiro não negativo. Como \Gamma(n+1)=n!, segue
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad s>0.

Passo 4

Na parte (c), tomamos p=-\tfrac12. Então
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{-1/2}\,dt.
Usamos a mudança de variável u=\sqrt{s\,t}, logo t=u^{2}/s e dt=2u/s\,du. Assim
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} =\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}\bigl(\tfrac{u^{2}}{s}\bigr)^{-1/2}\frac{2u}{s}\,du =\frac{2}{\sqrt{s}}\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du.

Passo 5

Sabe-se que
\int_{0}^{\infty}e^{-u^{2}}\,du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
Substituindo, vem
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} =\frac{2}{\sqrt{s}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2} =\sqrt{\frac{\pi}{s}}.

Passo 6

Para (d), basta usar p=\tfrac12 na fórmula geral do passo 2:
\mathcal{L}\{t^{1/2}\} =\frac{\Gamma(\tfrac32)}{s^{3/2}} \quad\text{e}\quad \Gamma\bigl(\tfrac32\bigr)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi},
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\mathcal{L}\{t^{1/2}\} =\frac{\tfrac12\sqrt{\pi}}{s^{3/2}} =\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{L}\{t^{p}\}=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\;s>0.
(b) \displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\;s>0.
(c) \displaystyle \mathcal{L}\{t^{-1/2}\}=\sqrt{\pi/s},\;s>0.
(d) \displaystyle \mathcal{L}\{t^{1/2}\}=\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}},\;s>0.

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