Em cada um dos Problemas de 7 a 12:
(b) Expresse f(t) em termos da função degrau unitário uc(t).
f(t)=ll1, & 0 <= t<2, e^-(t-2), & t >= 2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função f(t) que muda de forma dependendo do valor de t . A ideia aqui é reescrever essa função usando a função degrau unitário uc(t) . Isso faz parte do estudo de funções por partes e da teoria das transformadas de Laplace, onde a função degrau ajuda a modelar mudanças bruscas em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função [f(t)). Ela está definida da seguinte forma:
Ou seja, para tempos menores que 2, a função é constante igual a 1, e a partir de (t = 2], ela passa a ser uma exponencial decrescente.

Passo 3

Agora, vamos usar a função degrau unitário [u_c(t)). Essa função é definida como:
Ela serve para “ligar” ou “desligar” partes da nossa função .

Passo 4

Vamos expressar cada parte de f(t) usando uc(t) :
  1. A parte constante 1 para 0 <= t < 2 pode ser representada como 1 times [u0(t) - u2(t)] , onde u0(t) é simplesmente 1 para todo t >= 0 .
  2. A parte exponencial e^-(t-2) para t >= 2 é ativada a partir de t = 2 , então multiplicamos por u2(t) .

Passo 5

Juntando tudo, temos:
f(t) = 1 cdot u0(t) - 1 cdot u2(t) + e^-(t-2) cdot u2(t)
Como u0(t) é sempre 1, podemos simplificar para:
f(t) = 1 - u2(t) + e^-(t-2)u2(t)

Resposta

Portanto, a função f(t) expressa em termos da função degrau unitário uc(t) é:
f(t) = 1 - u2(t) + e^-(t-2)u2(t)

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