Em cada um dos Problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Este é um EDO linear de segunda ordem não-homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular por variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Pela variação de parâmetros, tomamos duas soluções fundamentais
e
. O Wronskiano é
As fórmulas dão a particular
Como
, isto simplifica para
Denotemos
Passo 4
Cálculo de
. Escreva
logo
Para a primeira parte note que
Então
Na última integral faça
,
, e
. Obtemos
Logo
Passo 5
Cálculo de
. Comece por
então
Para o segundo termo note que
. Escreva
e separe em
Usando
nas duas, chega-se a
e
Recombinando, obtém-se
Passo 6
Agora monte
:
Substituindo
e
:
Podemos ainda usar a identidade
para simplificar parte do termo.
para simplificar parte do termo.
Passo 7
A solução geral da equação é
onde
é o particular construído acima.