Em cada um dos Problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada:
y^{\prime \prime}+9 y=9 \operatorname{sec} 2 t, \quad 0<t<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 9y = 9\operatorname{sec}(2t),\quad 0<t<\frac\pi2.
Este é um EDO linear de segunda ordem não-homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 9y = 0.
A equação característica é \lambda^2 + 9=0, com raízes \lambda=\pm 3i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t).

Passo 3

Pela variação de parâmetros, tomamos duas soluções fundamentais y_1=\cos(3t) e y_2=\sin(3t). O Wronskiano é
W=y_1y_2'-y_1'y_2 =\cos(3t)\cdot3\cos(3t)-(-3\sin(3t))\cdot\sin(3t) =3\bigl(\cos^2(3t)+\sin^2(3t)\bigr)=3.
As fórmulas dão a particular
y_p=-y_1\int \frac{y_2\cdot 9\operatorname{sec}(2t)}{W}\,dt +y_2\int \frac{y_1\cdot 9\operatorname{sec}(2t)}{W}\,dt.
Como W=3, isto simplifica para
y_p=-3\cos(3t)\int \sin(3t)\operatorname{sec}(2t)\,dt +3\sin(3t)\int \cos(3t)\operatorname{sec}(2t)\,dt.
Denotemos
I_1=\int \sin(3t)\operatorname{sec}(2t)\,dt, \quad I_2=\int \cos(3t)\operatorname{sec}(2t)\,dt.

Passo 4

Cálculo de I_1. Escreva
\sin(3t)=\sin(2t+t)=\sin(2t)\cos t+\cos(2t)\sin t,
logo
I_1 =\int \frac{\sin(2t)\cos t}{\cos(2t)}\,dt +\int \frac{\cos(2t)\sin t}{\cos(2t)}\,dt =\int \tan(2t)\cos t\,dt+\int \sin t\,dt.
Para a primeira parte note que
\tan(2t)\cos t =\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)}\cos t =2\sin t\frac{\cos^2t}{\cos(2t)} =\sin t\frac{1+\cos(2t)}{\cos(2t)} =\sin t\operatorname{sec}(2t)+\sin t.
Então
I_1 =\int \sin t\operatorname{sec}(2t)\,dt +\int \sin t\,dt +\int \sin t\,dt =\int \frac{\sin t}{\cos(2t)}\,dt-2\cos t.
Na última integral faça u=\cos t, du=-\sin t\,dt, e \cos(2t)=2u^2-1. Obtemos
\int \frac{\sin t}{\cos(2t)}\,dt =-\int\frac{du}{2u^2-1} =-\frac1{\sqrt2}\,\mathrm{arctanh}(\sqrt2\,u) =-\frac1{\sqrt2}\,\mathrm{arctanh}(\sqrt2\cos t).
Logo
I_1=-\frac1{\sqrt2}\,\mathrm{arctanh}(\sqrt2\cos t)-2\cos t.

Passo 5

Cálculo de I_2. Comece por
\cos(3t)=\cos(2t+t)=\cos(2t)\cos t-\sin(2t)\sin t,
então
I_2 =\int \frac{\cos(2t)\cos t}{\cos(2t)}\,dt -\int \frac{\sin(2t)\sin t}{\cos(2t)}\,dt =\int \cos t\,dt-\int \tan(2t)\sin t\,dt.
Para o segundo termo note que \tan(2t)\sin t=2\sin^2t\cos t/\cos(2t). Escreva \sin^2t=1-\cos^2t e separe em
\int\frac{\cos t}{\cos(2t)}\,dt \quad\text{e}\quad \int\frac{\cos^3t}{\cos(2t)}\,dt.
Usando u=\sin t nas duas, chega-se a
\int \frac{\cos t}{\cos(2t)}\,dt =\frac1{\sqrt2}\,\mathrm{arctanh}(\sqrt2\sin t),
e
\int \frac{\cos^3t}{\cos(2t)}\,dt =\tfrac12\int \frac{\cos t}{\cos(2t)}\,dt+\tfrac12\sin t.
Recombinando, obtém-se
I_2=2\sin t-\frac1{\sqrt2}\,\mathrm{arctanh}(\sqrt2\sin t).

Passo 6

Agora monte y_p:
y_p=-3\cos(3t)\,I_1+3\sin(3t)\,I_2.
Substituindo I_1 e I_2:
y_p =-3\cos(3t)\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2}\mathrm{arctanh}(\sqrt2\cos t)-2\cos t\Bigr) +3\sin(3t)\Bigl(2\sin t-\tfrac1{\sqrt2}\mathrm{arctanh}(\sqrt2\sin t)\Bigr).
Podemos ainda usar a identidade
\;6[\cos(3t)\cos t+\sin(3t)\sin t]=6\cos(2t)
para simplificar parte do termo.

Passo 7

A solução geral da equação é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)+y_p(t),
onde y_p(t) é o particular construído acima.

Resposta

\boxed{y(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t) -3\cos(3t)\!\int\sin(3t)\operatorname{sec}(2t)\,dt +3\sin(3t)\!\int\cos(3t)\operatorname{sec}(2t)\,dt.}

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