Utilizando a Análise Dimensional determinar a relação que existe entre a aceleração gravitacional e a altura de água existente acima de um orifício em um reservatório, para expressar a velocidade do escoamento permanente.
\mathrm{V}=f(g ; h)
Ensaio 1 2 3
\mathrm{~h}(\mathrm{~m}) 0,5 1,5 2,5
\mathrm{~V}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) 3,1 5,4 6,9
Resp: V=1,4 \cdot \sqrt{g \cdot h};

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de escoamento permanente V de um orifício em função da aceleração gravitacional g e da altura de água h. Vamos usar análise dimensional para obter a forma funcional e depois ajustar a constante a partir dos dados experimentais.

Passo 2

Assumimos a forma genérica
V = k\,g^a\,h^b
onde k é uma constante adimensional e a, b são expoentes a determinar.

Passo 3

Analisando as dimensões:
[V] = L\,T^{-1},\quad [g] = L\,T^{-2},\quad [h] = L.
Impondo homogeneidade:
L\,T^{-1} = (L\,T^{-2})^a\,(L)^b = L^{a+b}\,T^{-2a}.
Comparando expoentes de T:
-1 = -2a\implies a = \tfrac12.
Comparando expoentes de L:
1 = a + b\implies b = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.
Logo
V = k\,\sqrt{g\,h}.

Passo 4

Para determinar k usamos os dados e g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}. Por exemplo, para h=0,5:
\sqrt{9,8\cdot0,5}\approx2,21, \quad k \approx \frac{3,1}{2,21}\approx1,40.
Fazendo o mesmo para h=1,5 e h=2,5 obtém-se valores de k muito próximos de 1,4.

Resposta

V = 1,4\,\sqrt{g\,h}

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