(3 pts) Seja \mathbf{F}(x, y, z)=(2 x y z-2 y) \mathbf{i}+\left(x^{2} z-2 x\right) \mathbf{j}+\left(x^{2} y+2 z\right) \mathbf{k}. Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é a linha poligonal (0,0,2) \rightarrow(0,0,0) \rightarrow(1,1,0) \rightarrow(3,0,0) \rightarrow(0,2,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = (2xyz - 2y)\,\mathbf{i} + (x^2 z - 2x)\,\mathbf{j} + (x^2 y + 2z)\,\mathbf{k}
e pede a integral de linha
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
ao longo da poligonal de (0,0,2) até (0,0,0), (1,1,0), (3,0,0) e finalmente (0,2,1).
O conteúdo aqui é campos conservativos e potenciais: vamos verificar se \mathbf{F} é conservativo (curl nulo em domínio simplesmente conectado) e, em caso afirmativo, achar um potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f. A integral será então f(\text{fim})-f(\text{início})í.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \mathbf{F}=(P,Q,R).
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xyz-2y) = 2xz-2, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2z-2x) = 2xz-2
\frac{\partial P}{\partial z} = 2xy, \qquad \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y+2z) = 2xy
\frac{\partial Q}{\partial z} = x^2, \qquad \frac{\partial R}{\partial y} = x^2.
Como todas as componentes coincidem ( \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, etc.), \nabla\times\mathbf{F}=0. Em \mathbb{R}^3 isso garante que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y,z) tal que
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xyz-2y.
Integrando em x:
f(x,y,z) = \int (2xyz-2y)\,dx = x^2 y z - 2xy + g(y,z).
Agora impomos
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 z -2x + \frac{\partial g}{\partial y} = Q = x^2 z -2x
o que dá \partial g/\partial y=0, logo g=g(z). Finalmente,
\frac{\partial f}{\partial z} = x^2y + g'(z) = R = x^2y+2z
implica g'(z)=2z, de onde g(z)=z^2 (constante irrelevante descartada).
Portanto
f(x,y,z) = x^2yz - 2xy + z^2.

Passo 4

Como a integral de um campo conservativo depende apenas dos pontos finais,
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f\bigl(0,2,1\bigr) - f\bigl(0,0,2\bigr).
Calculamos:
f(0,2,1) = 0^2\cdot2\cdot1 -2\cdot0\cdot2 + 1^2 = 1, \qquad f(0,0,2) = 0 - 0 + 2^2 = 4.
Logo o valor da integral é 1 - 4 = -3.

Resposta

-3

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