(3 pts) Seja
. Calcule
, onde
é a linha poligonal
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede a integral de linha
ao longo da poligonal de
até
,
,
e finalmente
.
O conteúdo aqui é campos conservativos e potenciais: vamos verificar se é conservativo (curl nulo em domínio simplesmente conectado) e, em caso afirmativo, achar um potencial
tal que
. A integral será então
.
O conteúdo aqui é campos conservativos e potenciais: vamos verificar se
Passo 2
Calculamos o rotacional de
.
Como todas as componentes coincidem (
, etc.),
. Em
isso garante que
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando em
:
Agora impomos
o que dá
, logo
. Finalmente,
implica
, de onde
(constante irrelevante descartada).
Portanto
Portanto
Passo 4
Como a integral de um campo conservativo depende apenas dos pontos finais,
Calculamos:
Logo o valor da integral é
.