Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
x^prime=(ll1 & 1 4 & 1) x+binom2-1 e^t

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema não homogêneo de primeira ordem
x'=1&14&1x+binom2-1e^t
O conteúdo é resolução de sistemas lineares de ODE com coeficientes constantes. Vamos decompor a solução em parte homogênea e parte particular. Para isso precisamos:
  1. Resolver o sistema homogêneo x'=Ax via valores e vetores próprios de A.
  2. Encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados, supondo um ansatz compatível com o termo forçante e^t.

Passo 2

Resolvendo o homogêneo x'=Ax com
A=1&14&1,
o polinômio característico é
det(A-lambda I)=(1-lambda)^2-4=lambda^2-2lambda-3=0
cuja soluções são lambda1=3 e lambda2=-1.
Para lambda1=3:
(A-3I)v=0;Longrightarrow;-2&14&-2binomv1v2=0 ;Rightarrow;v^(1)=binom12
Para lambda2=-1:
(A+I)v=0;Longrightarrow;2&14&2binomv1v2=0 ;Rightarrow;v^(2)=binom1-2
Logo a solução geral do homogêneo é
xh(t) =C1e^3tbinom12+C2e^-tbinom1-2

Passo 3

Para a parte particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o forçamento é binom2-1e^t e e^t não é solução do homogêneo, tomamos
xp(t)=v,e^t, v=binomv1v2
Substituindo em x'=Ax+binom2-1e^t
v,e^t = A(v,e^t)+binom2-1e^t ;Longrightarrow;(I-A)v=binom2-1
Como
I-A=0&-1-4&0,
resolvemos
0&-1-4&0binomv1v2 =binom2-1 ;Longrightarrow;-v2=2,;-4v1=-1 ;Rightarrow;v=binom1/4-2
Assim
xp(t)=binom1/4-2e^t

Passo 4

A solução geral do sistema é a soma das partes homogênea e particular:
x(t) =C1e^3tbinom12 +C2e^-tbinom1-2 +binom1/4-2e^t

Resposta

boxedx(t) =C1e^3t12 +C2e^-t1-2 +1/4-2e^t

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