Utilize propriedades dos determinantes (e o problema 2 anterior, se necessário) para provar as seguintes propriedades do produto vetorial:
(b) u times 0=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo vetor uinR^3, vale
utimes0=0,
utilizando propriedades de determinantes. Vamos usar (i) a definição do produto vetorial como determinante de uma matriz 3times3 cujo primeira linha é i,j,k e cujas segunda e terceira linhas são as componentes de u e de 0, respectivamente; (ii) a propriedade de que todo determinante de matriz que possui uma linha (ou coluna) nula é zero.

Passo 2

Seja u=(u1,u2,u3) e a vetor nulo 0=(0,0,0). Pela definição do produto vetorial,
utimes0 =det i & j & k [6pt] u1 & u2 & u3 [3pt] 0 & 0 & 0
Para extrair a componente ao longo de i fazemos a expansão pelo menor correspondente, obtendo
(utimes0)1 =det u2 & u3 0 & 0 =u2cdot 0 - u3cdot 0 =0
Como as outras duas componentes são determinantes de matrizes 2times2 também com uma linha nula, segue-se que
(utimes0)2=0 e (utimes0)3=0.]

Resposta

utimes0=0

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