Utilize propriedades dos determinantes (e o problema 2 anterior, se necessário) para provar as seguintes propriedades do produto vetorial:
(a) v times u=-(u times v)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto vetorial é antissimétrico, ou seja
vtimesu = -,(utimesv)
O que vamos usar é a definição do produto vetorial via determinante de uma matriz 3times3 e a propriedade de que trocar duas linhas de um determinante inverte o seu sinal.

Passo 2

Pela definição, dados
u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),
temos
utimesv =det i&j&k u1&u2&u3 v1&v2&v3 ,
onde i,j,k são os vetores da base canônica.

Passo 3

Basta trocar as linhas 2 e 3 nesse determinante:
det i&j&k v1&v2&v3 u1&u2&u3 = vtimesu
Como trocar duas linhas muda o sinal do determinante, obtemos
vtimesu =-, det i&j&k u1&u2&u3 v1&v2&v3 =-,(utimesv)

Resposta

vtimesu=-(utimesv)

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