Utilize propriedades dos determinantes (e o problema 2 anterior, se necessário) para provar as seguintes propriedades do produto vetorial:
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o produto vetorial é antissimétrico, ou seja
O que vamos usar é a definição do produto vetorial via determinante de uma matriz e a propriedade de que trocar duas linhas de um determinante inverte o seu sinal.
Passo 2
Pela definição, dados
temos
onde i,j,k são os vetores da base canônica.
Passo 3
Basta trocar as linhas 2 e 3 nesse determinante:
det i&j&k v1&v2&v3 u1&u2&u3 = vtimesu
Como trocar duas linhas muda o sinal do determinante, obtemos
vtimesu =-, det i&j&k u1&u2&u3 v1&v2&v3 =-,(utimesv)