Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
x^prime=(ll 2 & -5 1 & -2 ) x+binomcsc tsec t, pi2<t<pi

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
x' = A,x + g(t),
com
A = 2 & -5 1 & -2, g(t)=csc t[6pt]sec t,
no intervalo tfracpi2<t<pi.
O método é: (i) resolver primeiro o sistema homogêneo x'=Ax, obtendo duas soluções independentes; (ii) usar variação de parâmetros para encontrar uma solução particular; (iii) somar homogênea e particular para obter a solução geral.]

Passo 2

Resolvendo o homogêneo x'=Ax, escrevemos
x2'' = -,x2
e obtemos
x2(t) = Ccos t + Dsin t, x1 = x2' + 2x2
Isto gera duas soluções fundamentais independentes
f1(t) = 2cos t+sin t[4pt]cos t, f2(t) = -cos t+2sin t[4pt]sin t ]

Passo 3

Montamos a matriz fundamental
Phi(t)=l[f1(t);f2(t)r]
cujo determinante vale 1. A variação de parâmetros diz
xp(t) = Phi(t)integral Phi(t)^-1,g(t),dt
Calculamos
Phi(t)^-1,g(t) =2-2tan t[4pt]2+tan t-cot t ]

Passo 4

Integramos componente a componente no intervalo tfracpi2<t<pi:
u1(t)=integrall(2-2tan tr),dt =2t+2lnl|cos tr|,
u2(t)=integrall(2+tan t-cot tr),dt =2t-lnl|sin tcos tr|
Então a solução particular é
xp(t) =Phi(t)u1(t)[4pt]u2(t) ]

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = C12cos t+sin t[4pt]cos t + C2-cos t+2sin t[4pt]sin t +Phi(t) 2t+2lnl|cos tr|[4pt] 2t-lnl|sin tcos tr| ,
com C1,C2 constantes arbitrárias.]

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