Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
onde
O método é obter a solução geral como
once
xh vem da homogênea
x'=Ax e
xp é uma particular.]
Passo 2
Resolva a homogênea
x'=Ax .
O polinômio característico deA é
O polinômio característico de
com raízes
lambda1=-tfrac12 ,
lambda2=-2 .
Paralambda1=-tfrac12 , um autovetor é
11 .
Paralambda2=-2 , um autovetor é
1-1 .
Logo
Para
Para
Logo
Passo 3
Buscamos uma parte particular
, onde
resolve o termo polinomial
e
resolve o termo
.
Para usamos o ansatz
Para
e impomos
.
Isso gera o sistema (coeficiente de e termo constante):
Isso gera o sistema (coeficiente de
Passo 4
Da parte em
t :
Dos termos constantes:
Assim
Passo 5
Para
usamos o ansatz
e impomos .
Isto dá
Isto dá
once
Passo 6
Resolvendo
vem
,
.
Logo
Logo
Passo 7
A solução particular completa é
Logo a solução geral é