Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
x^prime=(rr-54 & 34 34 & -54) x+binom2 te^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
x' = A,x + g(t),
onde
A = -tfrac54 & tfrac34 [6pt] tfrac34 & -tfrac54, g(t)=2t [3pt] e^t
O método é obter a solução geral como
x(t)=xh(t)+xp(t),
once xh vem da homogênea x'=Ax e xp é uma particular.]

Passo 2

Resolva a homogênea x'=Ax.
O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =lambda^2+tfrac52lambda+1=0,
com raízes lambda1=-tfrac12, lambda2=-2.
Para lambda1=-tfrac12, um autovetor é 11.
Para lambda2=-2, um autovetor é 1-1.
Logo
xh(t) =C1 e^-t/211 +C2 e^-2t1-1

Passo 3

Buscamos uma parte particular , onde resolve o termo polinomial e resolve o termo .
Para usamos o ansatz
e impomos .
Isso gera o sistema (coeficiente de e termo constante):

Passo 4

Da parte em t:
3c-5a=-8, 3a-5c=0 ;Longrightarrow; a=tfrac52,;c=tfrac32
Dos termos constantes:
4a=-5b+3d, 4c=3b-5d ;Longrightarrow; b=-tfrac174,;d=-tfrac154
Assim
x1(t) =tfrac52,t-tfrac174[3pt]tfrac32,t-tfrac154 ]

Passo 5

Para usamos o ansatz
e impomos .
Isto dá
once
]

Passo 6

Resolvendo
vem , .
Logo
]

Passo 7

A solução particular completa é
xp(t) =x1(t)+x2(t) = tfrac52,t-tfrac174 + tfrac16 e^t[4pt] tfrac32,t-tfrac154 + tfrac12 e^t
Logo a solução geral é
x(t) =C1 e^-t/211 +C2 e^-2t1-1 + tfrac52,t-tfrac174 + tfrac16 e^t[4pt] tfrac32,t-tfrac154 + tfrac12 e^t ]

Resposta

boxed x(t) =C1 e^-t/211 +C2 e^-2t1-1 + tfrac52,t-tfrac174 + tfrac16 e^t[4pt] tfrac32,t-tfrac154 + tfrac12 e^t ]

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