Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
x^prime=(ll 4 & -2 8 & -4 ) x+binomt^-3-t^-2, t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não homogêneo
x' = A,x + f(t), A = 4 & -2[4pt]8 & -4, f(t)=t^-3[3pt]-t^-2,;t>0
O método será: (i) achar a solução da parte homogênea x'=Ax via matriz fundamental, (ii) usar variação de constantes para obter uma solução particular, e (iii) somar homogênea mais particular.]

Passo 2

Estudando A, notamos que
A^2=4 & -28 & -4^2=0,
logo A é nilpotente de índice 2. Assim a matriz fundamental (solução de x'=Ax com Phi(0)=I) é
Phi(t)=e^At=I + At
A solução homogênea genérica é
xh(t)=Phi(t),C =l(I+Atr)C, CinR^2 constante

Passo 3

Para a variação de constantes usamos a fórmula
xp(t) =Phi(t),integral Phi(t)^-1f(t),dt,
sabendo que Phi(t)^-1=I - At (pois (I+At)(I-At)=I-A^2t^2=I). Definimos
u(t)=integral l(I-Atr)f(t),dt =integralf(t),dt;-;integral t,A,f(t),dt

Passo 4

Calculemos as duas integrais:
. (\displaystyle \int \mathbf{f}(t),dt
=\int dt
= .) . Primeiro (A,\mathbf{f}(t)=

), logo
Assim
]

Passo 5

A solução particular é
xp(t)=Phi(t),u(t) =l(I+Atr),u(t)
Calculando A,u(t) e somando u(t)+t,(A,u(t))
xp(t) = -tfrac12t^2+2/t -2 -2ln t[4pt] 5/t -4 -4ln t ]

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
x(t) =underbracel(I+Atr)C xh(t) ;+ underbrace -tfrac12t^2+2/t -2 -2ln t[4pt] 5/t -4 -4ln t xp(t),
onde C=(C1,C2)^T é vetor de constantes arbitrárias.]

Resposta

x(t) = C1+tl(4C1-2C2r)[4pt] C2+tl(8C1-4C2r) + -tfrac12t^2+tfrac2t-2-2ln t[4pt] tfrac5t-4-4ln t , com C1,C2 constantes.]

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