Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
x^prime=(cc-3 & raiz2 raiz2 & -2) x+binom1-1 e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear não-homogêneo
x' = A,x + b,e^-t,
onde
A = -3 & raiz2 [6pt] raiz2 & -2, b = 1 -1
O plano é: (i) achar a solução geral do homogêneo x'=Ax via autovalores e autovetores; (ii) usar coeficientes indeterminados, percebendo que e^-t coincide com o autovalor -1 (ressonância), e tomar um “ansatz” do tipo xp=(u,t+v)e^-t; (iii) juntar homogênea e particular.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =l(-3-lambdar)l(-2-lambdar)-(raiz2)^2 =lambda^2+5lambda+4=0,
cuja raízes são lambda1=-1 e lambda2=-4.
Para lambda1=-1,
(A+I)v=0;Longrightarrow; -2 & raiz2[3pt]raiz2 & -1v=0 ;Longrightarrow; v^(1)=1raiz2
Para lambda2=-4,
(A+4I)v=0;Longrightarrow; 1 & raiz2[3pt]raiz2 & 2v=0 ;Longrightarrow; v^(2)=-raiz21
Logo a solução homogênea é
xh(t) = C1e^-t1raiz2 + C2e^-4t-raiz21 ]

Passo 3

Como o termo forçante é b,e^-t e -1 é autovalor de A, tentamos
xp(t) = (u,t + v),e^-t,
com u,vinR^2 constantes. Calculamos
xp' =ddtl[(u,t+v)e^-tr] =(u - u,t - v),e^-t
Substituindo em x'=Ax+be^-t
(u - u,t - v)e^-t = A,(u,t+v)e^-t + b,e^-t
Cancelando o fator e^-t e igualando termos em t e constantes obtemos
1) coeficiente de t: -u = A,u; Longrightarrow;(A+I)u=0,
2) termo livre: u - v = A,v + b.

Passo 4

Da equação (A+I)u=0 vemos que u é múltiplo do autovetor associado a lambda1=-1, isto é
u = alpha 1raiz2
Subindo à segunda equação e impondo consistência, encontra-se
alpha=1-raiz23
Em seguida resolve-se (A+I)v=u-b; como A+I é singular, há uma família de soluções, mas basta escolher uma qualquer, pois o “grau de liberdade” corresponde a somar parte da homogênea. Uma escolha conveniente é
u=1-raiz23[4pt]raiz2-23, v=0[3pt]-raiz2+13
Logo
xp(t) =l(t,u + vr)e^-t =e^-t!l(ttfrac1-raiz23[3pt]tfracraiz2-23 +0[3pt]-tfracraiz2+13r) ]

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com qualquer particular:
boxed x(t) = C1e^-t1raiz2 + C2e^-4t-raiz21 + e^-t!l(ttfrac1-raiz23[3pt]tfracraiz2-23 +0[3pt]-tfracraiz2+13r),
com C1,C2 constantes arbitrárias.]

Resposta

x(t) = C1e^-t1raiz2 + C2e^-4t-raiz21 + e^-tl(ttfrac1-raiz23[3pt]tfracraiz2-23 +0[3pt]-tfracraiz2+13r) ]

Exercícios relacionados