Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear não-homogêneo
onde
O plano é: (i) achar a solução geral do homogêneo x'=Ax via autovalores e autovetores; (ii) usar coeficientes indeterminados, percebendo que e^-t coincide com o autovalor -1 (ressonância), e tomar um “ansatz” do tipo xp=(u,t+v)e^-t; (iii) juntar homogênea e particular.
Como o termo forçante é b,e^-t e -1 é autovalor de A, tentamos
xp(t) = (u,t + v),e^-t,
com u,vinR^2 constantes. Calculamos
xp' =ddtl[(u,t+v)e^-tr] =(u - u,t - v),e^-t
Substituindo em x'=Ax+be^-t dá
(u - u,t - v)e^-t = A,(u,t+v)e^-t + b,e^-t
Cancelando o fator e^-t e igualando termos em t e constantes obtemos 1) coeficiente de t: -u = A,u;Longrightarrow;(A+I)u=0, 2) termo livre: u - v = A,v + b.
Passo 4
Da equação (A+I)u=0 vemos que u é múltiplo do autovetor associado a lambda1=-1, isto é
u = alpha 1raiz2
Subindo à segunda equação e impondo consistência, encontra-se
alpha=1-raiz23
Em seguida resolve-se (A+I)v=u-b; como A+I é singular, há uma família de soluções, mas basta escolher uma qualquer, pois o “grau de liberdade” corresponde a somar parte da homogênea. Uma escolha conveniente é