Utilize propriedades dos determinantes (e o problema 2 anterior, se necessário) para provar as seguintes propriedades do produto vetorial:
(d) u times k v=k(u times v)

Passo 1

O enunciado pede para provar que
utimes k,v=k,(utimesv).
Vamos usar a definição do produto vetorial via determinante e a propriedade de multilinearidade (ou seja, linearidade em cada linha ou coluna) do determinante.

Passo 2

Pela definição, para
u=(u1,u2,u3)
e
w=(w1,w2,w3),
temos
utimesw = e1 & e2 & e3 u1 & u2 & u3 w1 & w2 & w3 ,
onde a expansão desse determinante na primeira linha dá as componentes de utimesw.

Passo 3

Substituindo w = k,v = (k,v1,k,v2,k,v3), a terceira linha do determinante fica
(k,v1,;k,v2,;k,v3).
Pela multilinearidade do determinante em cada linha, fatoramos esse k para fora:
utimes (k,v) = e1 & e2 & e3 u1 & u2 & u3 k,v1 & k,v2 & k,v3 = k e1 & e2 & e3 u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 = k,(utimesv)

Resposta

utimes k,v=k,(utimesv).

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