Utilize propriedades dos determinantes (e o problema 2 anterior, se necessário) para provar as seguintes propriedades do produto vetorial:
(d)
Passo 1
O enunciado pede para provar que .
Vamos usar a definição do produto vetorial via determinante e a propriedade de multilinearidade (ou seja, linearidade em cada linha ou coluna) do determinante.
Passo 2
Pela definição, para
e ,
temos
onde a expansão desse determinante na primeira linha dá as componentes de utimesw.
Passo 3
Substituindo w = k,v = (k,v1,k,v2,k,v3), a terceira linha do determinante fica (k,v1,;k,v2,;k,v3).
Pela multilinearidade do determinante em cada linha, fatoramos esse k para fora: