Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
16.
16.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais:
O que pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- É uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
, que é produto de um polinômio (grau 1) por uma exponencial . - As condições iniciais são os valores de
e em .
Passo 2
Estratégia (apenas explicando o método que será usado):
- Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
para obter a solução complementar . - Depois procuramos uma solução particular
da equação completa por meio do método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), escolhendo um “palpite” para compatível com o tipo do termo forçante . - Finalmente a solução geral é
. Aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Vou agora explicar e aplicar cada etapa com detalhes e contas explícitas.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo obtém-se a equação característica:
Agora resolvemos a equação quadrática. Factorizando:
portanto as raízes são
e
.
Como as raízes são distintas e reais, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais mais adiante.
Breve explicação do porquê: cada raiz
da equação característica gera uma solução exponencial
; soma linear dessas soluções é a solução geral da homogênea quando as raízes são distintas.
Passo 4
Escolher um ansatz (palpite) para a solução particular
.
O termo não-homogêneo é
. A regra prática do método dos coeficientes a determinar diz:
- Se o forçante tem a forma de um polinômio em
vezes uma exponencial , então tentamos uma combinação polinomial de mesmo grau multiplicada por . - Se
coincide com alguma solução da homogênea (ou seja, se for raiz da equação característica), devemos multiplicar o ansatz por uma potência de suficiente para eliminar a ressonância.
Aqui
. As raízes da característica são
e
, portanto
NÃO é raiz: não há ressonância. Como o polinômio é de grau
(é
), tentamos um polinômio de grau
com coeficientes indeterminados multiplicando
. Assim escolhemos:
onde
e
são constantes a determinar.
Explicação curta: o fator
vem do exponencial do forçante; o polinômio
tem grau 1 igual ao do forçante.
Passo 5
Calcular
e
para impor na equação diferencial. Fazer derivação cuidadosa de produto polinômio vezes exponencial.
Começando por
Derivada primeira (produto):
Portanto
Agora a derivada segunda:
Novamente produto: derivada do polinômio é
e derivada do exponencial é
. Assim
Calculando o termo constante:
. Logo
Passo 6
Substituir
na equação diferencial e igualar ao forçante.
A equação é
Substituindo as expressões encontradas (cada termo tem um fator comum
), obtemos:
Fatorando
(que é sempre positivo, não altera as igualdades de coeficientes), obtemos uma identidade entre polinômios em
:
Agora desenvolvemos os termos e agrupamos coeficientes de
e constantes.
Termos com
:
Termos constantes:
Assim o lado esquerdo reduz a
Igualando ao lado direito
(ou seja, igualando os polinômios):
Passo 7
Comparar coeficientes do polinômio (igualdade para todo
) e resolver para
e
.
Coeficiente de
:
Coeficiente constante:
Substituindo
:
Portanto a solução particular é
Comentário motivador: deu certo porque escolhemos um ansatz sem fator extra de
(não houve ressonância), e os coeficientes ficaram simples.
Passo 8
Construir a solução geral da equação não-homogênea:
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 9
Calcular
e
em termos de
e
.
Primeiro
:
A condição é
, portanto
Agora calculamos
para depois avaliar em
.
Derivada de
:
Já calculamos anteriormente formula geral para um termo
; aqui
e
, e encontramos
Substituindo
e lembrando do sinal negativo global:
Calculemos os coeficientes:
Então, sem o sinal negativo, a derivada de
seria
. Com o sinal negativo em
, o termo correspondente em
é
Mas é mais simples reavaliar diretamente
e lembrar que
tem sinal negativo: já tínhamos
for
; contudo
was
with A=-1,B=-2/3 so y_p’ = (-2 t -7/3)e^{2t}. Since our y_p is that, keep consistency. To avoid confusion, we compute directly from our final expression for
:
Usando a expressão consolidada:
(Explicação: o último termo é a derivada de
.)
Agora avaliamos em
:
A condição é
, então
Passo 10
Resolver o sistema linear para
Somando as duas equações:
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}]:
]
Passo 11
Substituir
,
, e
na solução geral para escrever a solução particular do problema de valor inicial:
Podemos reorganizar para ficar bem legível:
Pequeno incentivo: pronto! Conseguimos achar
aplicando passo a passo: homogênea, palpite para particular, igualar coeficientes e aplicar condições iniciais. Se ficou alguma conta enrolada, releia os passos das derivadas; é exatamente o que costuma cair na prova.