Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
16. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais:
y'' - 2y' - 3y = 3t e^{2t}, \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é 3t e^{2t}, que é produto de um polinômio (grau 1) por uma exponencial e^{2t}.
  • As condições iniciais são os valores de y e y' em t=0.

Passo 2

Estratégia (apenas explicando o método que será usado):
  • Primeiro resolvemos a equação homogênea associada \,y''-2y'-3y=0 para obter a solução complementar y_c(t).
  • Depois procuramos uma solução particular y_p(t) da equação completa por meio do método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), escolhendo um “palpite” para y_p compatível com o tipo do termo forçante 3t e^{2t}.
  • Finalmente a solução geral é y(t)=y_c(t)+y_p(t). Aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Vou agora explicar e aplicar cada etapa com detalhes e contas explícitas.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'-3y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtém-se a equação característica:
r^{2}-2r-3=0.
Agora resolvemos a equação quadrática. Factorizando:
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
portanto as raízes são r=3 e r=-1.
Como as raízes são distintas e reais, a solução geral da homogênea é:
y_c(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais mais adiante.
Breve explicação do porquê: cada raiz r da equação característica gera uma solução exponencial e^{rt}; soma linear dessas soluções é a solução geral da homogênea quando as raízes são distintas.

Passo 4

Escolher um ansatz (palpite) para a solução particular y_p.
O termo não-homogêneo é 3t e^{2t}. A regra prática do método dos coeficientes a determinar diz:
  • Se o forçante tem a forma de um polinômio em t vezes uma exponencial e^{\alpha t}, então tentamos uma combinação polinomial de mesmo grau multiplicada por e^{\alpha t}.
  • Se e^{\alpha t} coincide com alguma solução da homogênea (ou seja, se \alpha for raiz da equação característica), devemos multiplicar o ansatz por uma potência de t suficiente para eliminar a ressonância.
Aqui \alpha=2. As raízes da característica são 3 e -1, portanto 2 NÃO é raiz: não há ressonância. Como o polinômio é de grau 1 3t), tentamos um polinômio de grau 1 com coeficientes indeterminados multiplicando e^{2t}. Assim escolhemos:
y_p(t)=(A t + B)e^{2t},
onde A e B são constantes a determinar.
Explicação curta: o fator e^{2t} vem do exponencial do forçante; o polinômio At+B tem grau 1 igual ao do forçante.

Passo 5

Calcular y_p' e y_p'' para impor na equação diferencial. Fazer derivação cuidadosa de produto polinômio vezes exponencial.
Começando por
y_p(t)=(A t + B)e^{2t}.
Derivada primeira (produto):
y_p'(t)=\frac{d}{dt}\big(A t + B\big)\cdot e^{2t} + (A t + B)\cdot \frac{d}{dt}e^{2t}.
\frac{d}{dt}\big(A t + B\big)=A,\qquad \frac{d}{dt}e^{2t}=2e^{2t}.
Portanto
y_p'(t)=\big(A\big)e^{2t} + (A t + B)\big(2e^{2t}\big) = \big(2A t + (A+2B)\big)e^{2t}.
Agora a derivada segunda:
y_p''(t)=\frac{d}{dt}\Big(\big(2A t + (A+2B)\big)e^{2t}\Big).
Novamente produto: derivada do polinômio é 2A e derivada do exponencial é 2e^{2t}. Assim
y_p''(t)=\big(2A\big)e^{2t} + \big(2A t + (A+2B)\big)\big(2e^{2t}\big) = \big(4A t + (2A + 2(A+2B))\big)e^{2t}.
Calculando o termo constante: 2A + 2(A+2B)=2A+2A+4B=4A+4B. Logo
y_p''(t)=\big(4A t + (4A+4B)\big)e^{2t}.

Passo 6

Substituir y_p, y_p', y_p'' na equação diferencial e igualar ao forçante.
A equação é \,y''-2y'-3y=3t e^{2t}. Substituindo as expressões encontradas (cada termo tem um fator comum e^{2t}), obtemos:
\big(4A t + (4A+4B)\big)e^{2t} -2\big(2A t + (A+2B)\big)e^{2t} -3\big(A t + B\big)e^{2t} =3t e^{2t}.
Fatorando e^{2t} (que é sempre positivo, não altera as igualdades de coeficientes), obtemos uma identidade entre polinômios em t:
\big(4A t + (4A+4B)\big) -2\big(2A t + (A+2B)\big) -3\big(A t + B\big) =3t.
Agora desenvolvemos os termos e agrupamos coeficientes de t e constantes.
Termos com t:
4A t -2\cdot 2A t -3A t = (4A -4A -3A)t = -3A t.
Termos constantes:
(4A+4B) -2(A+2B) -3B = 4A+4B -2A -4B -3B = (4A-2A) + (4B-4B-3B) = 2A -3B.
Assim o lado esquerdo reduz a
\big(-3A\, t + (2A-3B)\big)e^{2t}.
Igualando ao lado direito 3t e^{2t} (ou seja, igualando os polinômios):
-3A\, t + (2A-3B) = 3t + 0.

Passo 7

Comparar coeficientes do polinômio (igualdade para todo t) e resolver para A e B.
Coeficiente de t:
-3A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Coeficiente constante:
2A - 3B = 0.
Substituindo A=-1:
2(-1) - 3B = 0 \quad\Rightarrow\quad -2 - 3B = 0 \quad\Rightarrow\quad 3B = -2 \quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{2}{3}.
Portanto a solução particular é
y_p(t)=\big(-t - \tfrac{2}{3}\big)e^{2t}.
Comentário motivador: deu certo porque escolhemos um ansatz sem fator extra de t (não houve ressonância), e os coeficientes ficaram simples.

Passo 8

Construir a solução geral da equação não-homogênea:
y(t)=y_c(t)+y_p(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t} -\big(t + \tfrac{2}{3}\big)e^{2t}.
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 9

Calcular y(0) e y'(0) em termos de C_{1} e C_{2}.
Primeiro y(0):
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0} -\big(0 + \tfrac{2}{3}\big)e^{0} = C_{1}+C_{2}-\tfrac{2}{3}.
A condição é y(0)=1, portanto
C_{1}+C_{2}-\tfrac{2}{3}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}.
Agora calculamos y'(t) para depois avaliar em t=0.
Derivada de y(t):
y'(t)=3C_{1}e^{3t}-C_{2}e^{-t} + \frac{d}{dt}\Big(-\big(t + \tfrac{2}{3}\big)e^{2t}\Big).
Já calculamos anteriormente formula geral para um termo (At+B)e^{2t}; aqui A=-1 e B=-\tfrac{2}{3}, e encontramos
\frac{d}{dt}\big((A t + B)e^{2t}\big) = \big(2A t + (A+2B)\big)e^{2t}.
Substituindo A=-1,\;B=-\tfrac{2}{3} e lembrando do sinal negativo global:
\frac{d}{dt}\Big(-\big(t + \tfrac{2}{3}\big)e^{2t}\Big) = -\big(2(-1) t + (-1 + 2(-\tfrac{2}{3}))\big)e^{2t}.
Calculemos os coeficientes:
2A = 2(-1) = -2, \qquad A+2B = -1 + 2\Big(-\tfrac{2}{3}\Big) = -1 - \tfrac{4}{3} = -\tfrac{7}{3}.
Então, sem o sinal negativo, a derivada de (A t + B)e^{2t} seria \big(-2 t -\tfrac{7}{3}\big)e^{2t}. Com o sinal negativo em y_p, o termo correspondente em y' é
-\big(-2 t -\tfrac{7}{3}\big)e^{2t} = \big(2 t + \tfrac{7}{3}\big)e^{2t}.
Mas é mais simples reavaliar diretamente y_p' = (2A t + (A+2B))e^{2t} e lembrar que y_p tem sinal negativo: já tínhamos y_p' = (-2 t -\tfrac{7}{3})e^{2t} for A=-1,B=-\tfrac{2}{3}; contudo y_p was (A t + B)e^{2t} with A=-1,B=-2/3 so y_p’ = (-2 t -7/3)e^{2t}. Since our y_p is that, keep consistency. To avoid confusion, we compute directly from our final expression for y(t):
Usando a expressão consolidada:
y'(t)=3C_{1}e^{3t}-C_{2}e^{-t} + \big(-2 t - \tfrac{7}{3}\big)e^{2t}.
(Explicação: o último termo é a derivada de y_p(t)=(-t-\tfrac{2}{3})e^{2t}.)
Agora avaliamos em t=0:
y'(0)=3C_{1}-C_{2} + \big(-0 - \tfrac{7}{3}\big) =3C_{1}-C_{2}-\tfrac{7}{3}.
A condição é y'(0)=0, então
3C_{1}-C_{2}-\tfrac{7}{3}=0\quad\Rightarrow\quad 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{7}{3}.

Passo 10

Resolver o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3},\\[4pt] 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{7}{3}. \end{cases}
Somando as duas equações:
4C_{1} = \tfrac{5}{3} + \tfrac{7}{3} = \tfrac{12}{3} = 4 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}]:
1 + C_{2} = \tfrac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad C_{2} = \tfrac{5}{3}-1 = \tfrac{2}{3}.]

Passo 11

Substituir C_{1}, C_{2}, e y_p na solução geral para escrever a solução particular do problema de valor inicial:
y(t)=e^{3t} + \tfrac{2}{3}e^{-t} -\big(t + \tfrac{2}{3}\big)e^{2t}.
Podemos reorganizar para ficar bem legível:
y(t)=e^{3t} + \frac{2}{3}e^{-t} -\left(t+\frac{2}{3}\right)e^{2t}.
Pequeno incentivo: pronto! Conseguimos achar y(t) aplicando passo a passo: homogênea, palpite para particular, igualar coeficientes e aplicar condições iniciais. Se ficou alguma conta enrolada, releia os passos das derivadas; é exatamente o que costuma cair na prova.

Resposta

y(t)=e^{3t}+\frac{2}{3}e^{-t}-\left(t+\frac{2}{3}\right)e^{2t}.

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